а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с реб­ром 4 на реб­рах A₁D₁ и D₁C₁ от­ме­че­ны точки L и K со­от­вет­ствен­но так, что A₁L  =  1, D₁K  =  2. Точка O делит от­ре­зок BD в от­но­ше­нии DO : OB  =  7 : 3.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость KOL пе­ре­се­ка­ет ребро АВ в се­ре­ди­не.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния куба плос­ко­стью KOL.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Эф­фек­тив­ность про­стран­ствен­ной сшив­ки ДНК-бел­ко­вых ком­плек­сов при про­бо­под­го­тов­ке для Hi-C се­кве­ни­ро­ва­ния за­ви­сит от вре­ме­ни ин­ку­ба­ции t (в ми­ну­тах). В рам­ках упро­щен­ной фе­но­ме­но­ло­ги­че­ской мо­де­ли за­ви­си­мость ин­тен­сив­но­сти об­ра­зо­ва­ния пра­виль­ных сши­вок от вре­ме­ни опи­сы­ва­ет­ся функ­ци­ей:

где E₀  — мас­штаб­ная кон­стан­та, за­ви­ся­щая от кон­цен­тра­ции фор­маль­де­ги­да. При каком вре­ме­ни ин­ку­ба­ции t эф­фек­тив­ность сшив­ки до­сти­га­ет наи­боль­ше­го зна­че­ния?

В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке АВС ВС  =  АС. На сто­ро­нах ВС и АВ от­ме­че­ны точки N и М со­от­вет­ствен­но так, что АС  =  АM и ВМ  =  BN. Пря­мые AN и СМ пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

а)  До­ка­жи­те, что угол ВАС равен 36°.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков CMN и АВС.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно один ко­рень.

В эки­па­же под­вод­ной лодки 50 че­ло­век. Ко­ман­дир со­став­ля­ет гра­фик вахт. Каж­дая вахта со­сто­ит стро­го из 3 че­ло­век. Тре­бу­ет­ся, чтобы за весь поход каж­дые два члена эки­па­жа несли сов­мест­ную вахту ровно один раз.

а)  Воз­мож­но ли со­ста­вить такой гра­фик для 50 че­ло­век?

б)  Воз­мож­но ли со­ста­вить такой гра­фик для 51 че­ло­ве­ка?

в)  Пусть эки­паж до­уком­плек­то­ва­ли ми­ни­маль­но не­об­хо­ди­мым чис­лом мат­ро­сов. Сколь­ко всего вахт будет про­ве­де­но за такой поход, и в сколь­ких из них при­мет уча­стие лично ко­ман­дир лодки?