а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды SABC лежит рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABC со сто­ро­на­ми AB  =  AC  =  4, SA  =  3  — вы­со­та пи­ра­ми­ды, SB  =  5, Через вер­ши­ну A про­ве­де­на плос­кость α, пер­пен­ди­ку­ляр­ная ребру SC.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит объем пи­ра­ми­ды SABC в от­но­ше­нии 27 : 98.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды SABC плос­ко­стью α.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ско­рость про­хож­де­ния скаль­ной по­ро­ды υ (в мет­рах в час) на­пря­мую за­ви­сит от пи­ко­вой тем­пе­ра­ту­ры плаз­мен­но­го фа­ке­ла T (в кель­ви­нах):

где υ₀  =  2 м/ч  — ба­зо­вый ко­эф­фи­ци­ент уста­нов­ки. В свою оче­редь, тем­пе­ра­ту­ра фа­ке­ла ре­гу­ли­ру­ет­ся углом на­кло­на маг­нит­ных линз α (в ра­ди­а­нах, по фор­му­ле цик­ли­че­ско­го теп­ло­об­ме­на:

Ин­же­не­рам не­об­хо­ди­мо вы­ста­вить такой угол на­кло­на линз α, при ко­то­ром ско­рость бу­ре­ния υ будет ми­ни­маль­ной (чтобы без­опас­но прой­ти слой не­ста­биль­но­го гра­ни­та), но при этом плаз­ма не долж­на гас­нуть (для этого тем­пе­ра­ту­ра T долж­на стро­го пре­вы­шать 1000 К). Най­ди­те этот угол α. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Окруж­ность с цен­тром в точке O на ги­по­те­ну­зе AC пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC ка­са­ет­ся ка­те­та AB в точке M, а ка­те­та BC  — в точке K и пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок AO в точке N. Из­вест­но, что AN : MN  =  6 : 1.

а)  До­ка­жи­те, что KC : OC  =  1 : 9.

б)  Най­ди­те AC, если

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно че­ты­ре раз­лич­ных корня на от­рез­ке [–⁠π; π].

По­пу­ляр­ный стри­мер Макс про­во­дит празд­нич­ный ма­ра­фон. На стрим зашли не­сколь­ко зри­те­лей. Среди них есть обыч­ные зри­те­ли (каж­дый за­до­на­тил целое число руб­лей от 100 до 400 вклю­чи­тель­но) и VIP-зри­те­ли (каж­дый за­до­на­тил целое число руб­лей от 500 до 700 вклю­чи­тель­но). Из­на­чаль­но сред­ний раз­мер до­на­та среди всех зри­те­лей со­ста­вил ровно 400 руб­лей. Затем Макс объ­явил розыг­рыш, и часть зри­те­лей ушла со стри­ма. При этом сред­ний донат среди остав­ших­ся зри­те­лей вырос и со­ста­вил ровно 500 руб­лей, а сред­ний донат среди ушед­ших зри­те­лей со­ста­вил ровно 250 руб­лей.

а)  Могло ли из­на­чаль­но на стри­ме быть 15 зри­те­лей, если среди них было ровно 10 VIP-зри­те­лей?

б)  Могло ли по­лу­чить­ся так, что после розыг­ры­ша на стри­ме оста­лось ровно 4 зри­те­ля?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство зри­те­лей могло из­на­чаль­но быть на стри­ме, если из­вест­но, что среди остав­ших­ся участ­ни­ков был ровно один VIP-зри­тель?