Ре­ше­ние.

а)  За­пи­шем урав­не­ние в виде Решив по­след­нее урав­не­ние как квад­рат­ное от­но­си­тель­но по­лу­чим или Зна­чит, от­ку­да или что не­воз­мож­но.

б)  От­бе­рем с по­мо­щью еди­нич­ной окруж­но­сти корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку это

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть F и G  — се­ре­ди­ны рёбер AB и BC со­от­вет­ствен­но. От­рез­ки FK и GL па­рал­лель­ны MB, где точки K и L  — се­ре­ди­ны рёбер MA и MC со­от­вет­ствен­но. По­сколь­ку ис­ко­мое се­че­ние  — па­рал­ле­ло­грамм FGLK.

Пусть MH  — вы­со­та и ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка MAC, BH  — ме­ди­а­на и вы­со­та тре­уголь­ни­ка ABC, зна­чит, пря­мая AC пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти MBH и AC пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой MB, ле­жа­щей в этой плос­ко­сти. От­ре­зок FK па­рал­ле­лен MB, от­ре­зок FG па­рал­ле­лен AC, сле­до­ва­тель­но, FGLK  — пря­мо­уголь­ник.

б)  Пусть MO  — вы­со­та пи­ра­ми­ды, тогда MO  =  9, MB  =  15, от­ку­да OB  =  12. В пра­виль­ном тре­уголь­ни­ке ABC, где O  — его центр,

В пря­мо­уголь­ни­ке FGLK

Ответ:

Ре­ше­ние. 1.  Решим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

Пусть тогда не­ра­вен­ство при­мет вид: от­ку­да воз­вра­ща­ясь к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной по­лу­чим:

Ре­ше­ние пер­во­го не­ра­вен­ства ис­ход­ной си­сте­мы:

2.  Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

3.  По­сколь­ку мно­же­ство ре­ше­ний ис­ход­ной си­сте­мы не­ра­венств:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть O  — центр тре­тьей окруж­но­сти, A  — точка ка­са­ния пер­вой и тре­тьей окруж­но­стей, B  — вто­рой и тре­тьей, C  — тре­тьей окруж­но­сти и пря­мой O₁O₂. Точки O₁, A и O лежат на одной пря­мой. Точки O₂, B и O также лежат на одной пря­мой.

Пусть ра­ди­ус тре­тьей окруж­но­сти равен x, тогда

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке OCO₁ имеем

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке OCO₂ имеем

Воз­мож­ны два слу­чая. пер­вый слу­чай: точка С лежит между точ­ка­ми O₁ и O₂ (ри­су­нок 1), тогда

от­ку­да x  =  12.

Вто­рой слу­чай: точка O₁ лежит между точ­ка­ми C и O₂ (ри­су­нок 2), тогда

от­ку­да x  =  180.

Ответ: 12 или 180.

Ре­ше­ние. Пусть Если то   — два корня. Если тогда   — един­ствен­ный ко­рень.

Обо­зна­чим Ис­ход­ное урав­не­ние имеет ровно два корня тогда и толь­ко тогда, когда урав­не­ние имеет корни, из ко­то­рых ровно один боль­ше 1, и при этом не яв­ля­ет­ся кор­нем.

Урав­не­ние имеет ровно один ко­рень, если дис­кри­ми­нант равен нулю:

При урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень В этом слу­чае ис­ход­ное урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень

При урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень В этом слу­чае ис­ход­ное урав­не­ние имеет два корня.

Гра­фи­ком функ­ции яв­ля­ет­ся па­ра­бо­ла, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх. Для того чтобы урав­не­ние имело два корня, один из ко­то­рых боль­ше 1, а дру­гой мень­ше 1, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы вы­пол­ня­лось не­ра­вен­ство

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Из усло­вия по­лу­ча­ем:

По­сколь­ку по­лу­ча­ем: или

В пер­вом слу­чае из ра­вен­ства учи­ты­вая, что и числа и имеют раз­ную чётность, на­хо­дим чего не может быть.

Во вто­ром слу­чае из не­ра­вен­ства учи­ты­вая, что на­хо­дим от­ку­да по­лу­ча­ем:

б)  Из усло­вия по­лу­ча­ем:

По­сколь­ку по­лу­ча­ем, что то есть Ана­ло­гич­но по­след­нее ра­вен­ство вы­пол­ня­ет­ся толь­ко при и Зна­чит, что не­воз­мож­но.

в)  Из ра­вен­ства по­лу­ча­ем: Зна­чит, По­лу­ча­ем четвёрку чисел По­сколь­ку по­лу­ча­ем: Кроме того, от­ку­да

Зна­чит, a при­над­ле­жит про­ме­жут­ку (251; 500). Более того, для лю­бо­го це­ло­го a из этого про­ме­жут­ка най­ден­ная четвёрка чисел удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи. Таким об­ра­зом, a может при­ни­мать 248 зна­че­ний.

Ответ: а)  a  =  7, b  =  5, c  =  2, d  =  1; б)  нет; в)  248.