PDF-версии: 
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Запишем исходное уравнение в виде 
Заметим, что левая часть полученного уравнения не больше 1, а правая — не меньше 1:
Уравнение превращается в верное равенство тогда и только тогда, когда обе его части равны 1:
б) Длина отрезка 
равна 2π. Соседние решения уравнения также отличаются друг от друга на 2π, причем ни один из них не совпадает с концами заданного отрезка. Следовательно, отрезку принадлежит лишь один корень — 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Прямоугольные треугольники A1B1D и C1B1D равны по гипотенузе и острому углу, следовательно,
откуда
тыс. руб.
имеет единственное решение.
Рассмотрим функцию 
она возрастающая (как сумма двух возрастающих функций), ее наименьшее значение 
тогда уравнение записывается в виде 
На ОДЗ при 
справедливо неравенство 
а значит, уравнение не имеет решений. 
левая часть уравнения 
возрастает, а правая постоянна, значит, уравнение имеет не более одного корня. Проверка показывает, что 
является корнем уравнения.
Функция f выпукла вверх (как сумма двух выпуклых вверх функций), поэтому ее график лежит не выше касательной и имеет с секущей прямой не более двух общих точек. Следовательно, при 
уравнение имеет не более двух корней. Поскольку 
один корень может быть только в случае, когда прямая касается кривой.
и 
Отметим, что 
и тогда
сонаправлен с вектором 
то есть при 
при 
и 
при прочих х. Тем самым прямая 
соответствующая значению параметра 
является касательной к графику функции f.
получаем, что 
значит, уравнение 
уравнение имеет два корня.
или 
Значит, 
кратно 9. Такое 
единственно — это остаток от деления N на 9. Аналогично, поскольку 
можно однозначно найти b как остаток от деления 
на 9. После этого и a определится однозначно по формуле 
поэтому требуется как минимум 
монет.
поэтому требуется как минимум 
монет.
причем 
Разберем варианты.
то 
и потому 
то 
и потому 
то 