PDF-версии: 
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Заметим, что уравнение определено при
Преобразуем уравнение при этом ограничении:
Найденные решения удовлетворяют условию 
б) Отберем корни при помощи тригонометрической окружности (см. рис.). 
Ответ: 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
688877
Тогда четырехугольник MPQN — трапеция. Треугольники MDP и NCQ равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, 
Таким образом, трапеция MPQN — равнобедренная.
поскольку точка Q — середина ребра BC. Значит,
высота 
и биссектриса 
Тогда из равнобедренного треугольника BOC 
и 
Углы BAC и BOC опираются на одну дугу, поэтому 
В прямоугольном треугольнике ABH:
Пусть 
По свойству биссектрисы в треугольнике HBO получаем:
являются решениями уравнения.
является решением уравнения.
равна 
а их произведение равно 
По теореме, обратной теореме Виета, корнями этого уравнения являются числа 
и 
Эти числа различны для всех значений параметра. Чтобы систем имела два различных решения, необходимо и достаточно, чтобы найденные корни одновременно принадлежали множеству решений первого уравнения:
где 
называется треугольным. Рассмотрим треугольные числа, в десятичной записи которых нет цифры 9, таких, что если каждую цифру числа увеличить на 1, то полученное число также является треугольным.
состоящего из k цифр.
и эти числа получаются друг из друга именно так.
тогда 
тогда 
и 
не трехзначное;
тогда 
и 
тогда 
и 
и 
Да, такие числа существуют.
тогда 
и 
— не
один из множителей кратен 101 и потому равен 101 или 202. Поэтому возможны такие варианты:
тогда 
и 
и 
Этот вариант подходит.
тогда 
и 
и 
Этот вариант не подходит, число не четырехзначное.