Ре­ше­ние. а)  Най­дем нули чис­ли­те­ля дроби:

Для всех чисел серии зна­ме­на­тель не опре­де­лен, а для всех чисел опре­де­лен.

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи двой­но­го не­ра­вен­ства:

Най­ден­ным зна­че­ни­ям k со­от­вет­ству­ют корни и 0.

Ответ: а)  б)  0.

Ре­ше­ние. а)  Пусть ра­ди­ус впи­сан­ной сферы равен r, ра­ди­ус опи­сан­ной  — 3r. Обо­зна­чим их цен­тры точ­ка­ми I и O со­от­вет­ствен­но. Оба этих цен­тра лежат на вы­со­те SH, то есть OS  =  3r, IH  =  r, По­ло­же­ние цен­тров сфер на вы­со­те пока не опре­де­ле­но од­но­знач­но, по­это­му зна­че­ние x может быть от­ри­ца­тель­ным. Пусть также точка M  — се­ре­ди­на AB. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

от­ку­да

По свой­ству бис­сек­три­сы то есть

Слу­чай x  =  –4r не­воз­мо­жен, иначе SH  =  0. Сле­до­ва­тель­но, x  =  0, то есть точки I и O сов­па­да­ют, а по­то­му тет­ра­эдр яв­ля­ет­ся пра­виль­ным.

б)  От­ре­зок ML  — бис­сек­три­са в тре­уголь­ни­ке SMC, но SM  =  MC, по­сколь­ку тет­ра­эдр SABC  — пра­виль­ный, по­это­му SL  =  LC. Тогда объем пи­ра­ми­ды ABLC вдвое мень­ше объ­е­ма тет­ра­эд­ра SABC. Пусть AB  =  a, тогда

Те­перь можно вы­ра­зить пло­ща­ди:

где S_ABLC  — пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды ABLC. Ее объем равен

Тогда где r  — ис­ко­мый ра­ди­ус. На­ко­нец,

Од­на­ко зна­чит,

Ответ: б) 

Ре­ше­ние. При всех до­пу­сти­мых зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной имеем:

Если ос­но­ва­ние ло­га­риф­ма по­ло­жи­тель­но и мень­ше еди­ни­цы, то есть при то ар­гу­мент ло­га­риф­ма боль­ше 1, а по­то­му и по­лу­чен­ная си­сте­ма не­ра­венств не­сов­мест­на. Если же то есть если на­хо­дим:

Ответ:

Ре­ше­ние. Раз­ме­щать объ­яв­ле­ние в ре­клам­ной сети не­вы­год­но: при за­тра­тах в 20 000 руб. за объ­яв­ле­ние ко­ли­че­ство про­дан­ных ложек уве­ли­чит­ся на 10 шт., то есть уве­ли­чит вы­руч­ку всего на 10 000 руб. Сле­до­ва­тель­но, ко­ли­че­ство объ­яв­ле­ний в ре­клам­ной сети долж­но быть ми­ни­маль­ным, а зна­чит, не­об­хо­ди­мо ку­пить два объ­яв­ле­ния в мес­сен­дже­ре общей сто­и­мо­стью 80 000 руб. (на боль­шее не хва­тит денег) и дать одно объ­яв­ле­ние в ре­клам­ной сети.

Воз­мож­ны три ва­ри­ан­та: сна­ча­ла да­ет­ся объ­яв­ле­ние в ре­клам­ной сети, затем два объ­яв­ле­ния в мес­сен­дже­ре; сна­ча­ла да­ет­ся объ­яв­ле­ние в мес­сен­дже­ре, затем в ре­клам­ной сети, затем еще одно в мес­сен­дже­ре; сна­ча­ла да­ет­ся два объ­яв­ле­ния в мес­сен­дже­ре, затем да­ет­ся объ­яв­ле­ние в ре­клам­ной сети. Пусть в от­сут­ствие ре­кла­мы биз­не­смен про­дал бы х ложек, тогда вы­руч­ка, из­ме­ря­е­мая в ты­ся­чах руб­лей, в этих слу­ча­ях равна со­от­вет­ствен­но

Наи­бо­лее вы­го­ден пер­вый ва­ри­ант.

Опре­де­лим, при каком наи­мень­шем зна­че­нии x до­пол­ни­тель­ная вы­руч­ка пре­вы­ша­ет 100 тыс. руб. Решим не­ра­вен­ство:

Наи­мень­шим целым ре­ше­ни­ем не­ра­вен­ства яв­ля­ет­ся число 121, по­это­му ре­клам­ная кам­па­ния оку­пит­ся при про­да­же 121 ложки.

Ответ: не­об­хо­ди­мо про­дать хотя бы 121 ложку.

Ре­ше­ние. а)  Обо­зна­чим точки ка­са­ния впи­сан­ной окруж­но­сти со сто­ро­на­ми AB, BC и AC бук­ва­ми P, Q и M со­от­вет­ствен­но. По усло­вию AM  =  MC, кроме того, AM  =  AP, MC  =  CQ, BQ  =  BP как от­рез­ки ка­са­тель­ных, а тогда

б)  Обо­зна­чим точки ка­са­ния впи­сан­ной окруж­но­сти со сто­ро­на­ми AC, CD и AD бук­ва­ми N, K и L со­от­вет­ствен­но. Пусть Тогда

Про­ве­дем вы­со­ту тра­пе­ции CH, тогда За­ме­тим, что

от­ку­да

На­ко­нец,

Ответ: б) 

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем пер­вое урав­не­ние си­сте­мы:

В си­сте­ме ко­ор­ди­нат xOy гра­фи­ком пер­во­го урав­не­ния со­во­куп­но­сти яв­ля­ет­ся па­ра­бо­ла гра­фи­ком вто­ро­го урав­не­ния  —  точка  гра­фи­ком тре­тье­го урав­не­ния  — пря­мая Гра­фи­ком вто­ро­го урав­не­ния ис­ход­ной си­сте­мы яв­ля­ет­ся се­мей­ство пря­мых Рас­смот­рим вза­им­ное рас­по­ло­же­ние гра­фи­ков.

Найдём точки пе­ре­се­че­ния гра­фи­ков функ­ций и

Зна­чит, гра­фи­ки пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках и

Найдём точки пе­ре­се­че­ния гра­фи­ков функ­ций и

Зна­чит, при любом зна­че­нии па­ра­мет­ра a пря­мая яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к па­ра­бо­ле в точке

Найдём зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых пря­мая про­хо­дит через точку

Найдём зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых пря­мая па­рал­лель­на или сов­па­да­ет с пря­мой при­рав­няв уг­ло­вые ко­эф­фи­ци­ен­ты. По­лу­ча­ем: от­ку­да При по­лу­ча­ем:

зна­чит, пря­мые па­рал­лель­ны. При осталь­ных зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра a

пря­мые имеют одну общую точку

Таким об­ра­зом, пря­мая имеет с гра­фи­ком пер­во­го урав­не­ния ис­ход­ной си­сте­мы

—  при одну общую точку

—  при одну общую точку

—  при три общие точки и

—  при всех осталь­ных зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра a две общие точки и

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть волк вы­иг­рал x пар­тий, про­иг­рал тоже x, а осталь­ные пар­тий сыг­рал вни­чью. Тогда он на­брал

очков.

б)  Да, такое могло быть. Пусть лиса вы­иг­ра­ла у волка 5 пар­тий, волк у лисы  — 4 пар­тии, а заяц вы­иг­рал три пар­тии у лисы. Осталь­ные пар­тии за­вер­ши­лись вни­чью. Тогда лиса на­бра­ла очков, волк  — очков, а заяц  — очка.

в)  Пусть игрок вы­иг­рал x пар­тий, про­иг­рал y пар­тий и свел вни­чью. Тогда он по­лу­чит

очков. При вто­ром же спо­со­бе под­сче­та он по­лу­чит очков. Таким об­ра­зом, ре­зуль­та­ты по двум си­сте­мам оце­ни­ва­ния все­гда от­ли­ча­ют­ся на 20, и по­то­му ре­зуль­та­ты всех иг­ро­ков упо­ря­до­че­ны оди­на­ко­во по обеим си­сте­мам.

г)  Сумма числа вы­иг­ры­шей равна сумме числа про­иг­ры­шей, по­то­му что и то, и дру­гое  — ко­ли­че­ство пар­тий, за­кон­чив­ших­ся не вни­чью. Зна­чит, все сла­га­е­мые пер­вой суммы не могут быть боль­ше со­от­вет­ству­ю­щих им сла­га­е­мых вто­рой.

Ответ: а)  20; б)  да; в)  нет; г)  нет.