Ре­ше­ние. а)  Решим урав­не­ние вве­де­ни­ем вспо­мо­га­тель­но­го угла:

б)  От­бе­рем корни, при­над­ле­жа­щие за­дан­но­му от­рез­ку, при по­мо­щи двой­ных не­ра­венств. Для пер­вой серии по­лу­ча­ем:

Най­ден­но­му зна­че­нию со­от­вет­ству­ет ко­рень 0. Для вто­рой серии на­хо­дим:

Най­ден­но­му зна­че­нию со­от­вет­ству­ет ко­рень

Ответ: а) б) 0,

Ре­ше­ние. а)  Пусть пря­мая KL пе­ре­се­ка­ет ребра A₁B₁ и B₁C₁ в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но. Тре­уголь­ни­ки KD₁L, LC₁N и KA₁M равны по сто­ро­не и двум углам. Пусть сто­ро­на ромба равна a. Тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке ABC:

Также по­лу­ча­ем:

Тре­уголь­ни­ки MPK и MBN по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия зна­чит,

Пусть h  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка MBN, про­ве­ден­ная из вер­ши­ны B. Тогда:

от­ку­да:

От­но­ше­ние пло­ща­ди се­че­ния к пло­ща­ди ос­но­ва­ния равно

б)  Про­ве­дем пря­мую PP₁ па­рал­лель­но ребру A₁D₁ так, что точка P лежит на ребре DD₁. Тогда P₁D₁LQC  — про­ек­ция BPKLQ на плос­кость CDD₁C₁. Зна­чит,

За­ме­тим, что то есть Зна­чит,

Ко­си­нус ис­ко­мо­го угла равен

от­ку­да

Ответ: а)  б) 

Ре­ше­ние. Най­дем об­ласть опре­де­ле­ния не­ра­вен­ства:

Для таких зна­че­ний пе­ре­мен­ной зна­ме­на­тель при­ни­ма­ет лишь по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния. а по­то­му на него можно умно­жить обе части не­ра­вен­ства. По­лу­ча­ем:

На от­рез­ке не­ра­вен­ство верно. Если обе части не­ра­вен­ства по­ло­жи­тель­ны, их можно воз­ве­сти в квад­рат, не меняя знака не­ра­вен­ства:

За­ме­тим, что

Сле­до­ва­тель­но,

При обе части не­ра­вен­ства от­ри­ца­тель­ны. После воз­ве­де­ния в квад­рат по­лу­чим не­ра­вен­ство с про­ти­во­по­лож­ным зна­ком, его ре­ше­ни­ем будет:

За­ме­тим, что

Сле­до­ва­тель­но,

Объ­еди­няя най­ден­ные ре­ше­ния, на­хо­дим мно­же­ство ре­ше­ний не­ра­вен­ства:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть еже­год­ный объем про­дук­ции, про­из­во­ди­мый ко­опе­ра­ти­вом на мо­мент на­ча­ла 1925 года, равен V, Имеем:

Объем вы­пус­ка про­дук­ции к концу 1925 года был уве­ли­чен на p₁ про­цен­тов, по­это­му он со­ста­вил Vk₁. В на­ча­ле 1926 года не­сколь­ко цехов, до­стиг­ших сум­мар­но к концу преды­ду­ще­го года еже­днев­но­го объ­е­ма вы­пус­ка про­дук­ции, рав­но­го по­ло­ви­не еже­днев­но­го объ­е­ма вы­пус­ка­е­мой про­дук­ции всего ко­опе­ра­ти­ва в на­ча­ле 1925 года, были за­кры­ты на ре­кон­струк­цию, сле­до­ва­тель­но, объем вы­пус­ка­е­мой про­дук­ции стал равен К концу 1926 года остав­ши­е­ся цеха уве­ли­чи­ли объем вы­пус­ка про­дук­ции на p₂ про­цен­тов по срав­не­нию с на­ча­лом года, сле­до­ва­тель­но, объем вы­пус­ка про­дук­ции со­ста­вил

Най­дем про­из­вод­ную функ­ции

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Функ­ция f(k₁) при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние в точке мак­си­му­ма  — от­сю­да

Ответ: 55.

Ре­ше­ние. а)  Пусть сто­ро­на ше­сти­уголь­ни­ка равна a, тогда

Пусть пря­мая AK пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну FE в точке P. Тогда, если то зна­чит, точка P  — се­ре­ди­на ребра EF. Сле­до­ва­тель­но, точка  K  — точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка AFE. Пусть также точка  L  — се­ре­ди­на от­рез­ка AE, тогда

Далее, и

б)  По тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке AFP:

Далее,

от­ку­да и Тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке ABT:

За­ме­тим, что тре­уголь­ни­ки ABM и TBA по­доб­ны по двум углам, от­ку­да и

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке ABC:

На­ко­нец,

Ответ: б)  4 : 5.

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что среди пер­вых 1500 чисел ровно крат­ны трем. Зна­чит, если вы­черк­нуть все крат­ные трем числа среди чисел от 1 до 1500, оста­нет­ся как раз 1000 чисел. По­след­ним из них будет 1499, по­сколь­ку 1500 крат­но трем.

б)  За­ме­тим, что если a не крат­но трем, то одно из чисел a – 1 и a + 1 крат­но трем, по­это­му крат­но трем. Зна­чит, a² дает оста­ток 1 при де­ле­нии на 3. По­это­му сумма трех квад­ра­тов цифр может быть крат­на трем, если все числа крат­ны трем, или если все они не крат­ны трем. Пер­вый ва­ри­ант не­воз­мо­жен, по­сколь­ку тогда и сумма кубов цифр будет крат­на трем. Зна­чит, они все и их про­из­ве­де­ние не крат­ны трем.

в)  Пусть корни урав­не­ния  — это x₁, x₂. Они не крат­ны трем, а кроме того, не могут да­вать раз­лич­ные остат­ки при де­ле­нии на три, иначе будет крат­но трем. Если же они дают оди­на­ко­вые остат­ки, то дает оста­ток либо либо то есть тоже 1. Остат­ка 4 быть не может.

Ответ: а) 1499; б)  нет; в)  1.