Ре­ше­ние. а)  Учтем не­чет­ность си­ну­са, при­ме­ним фор­му­лу при­ве­де­ния, по­лу­чим:

Пра­вая часть на ОДЗ ло­га­риф­ма равна 2. По­лу­ча­ем:

Усло­ви­ям удо­вле­тво­ря­ют толь­ко числа

б)  Длина от­рез­ка равна  2π. Рас­сто­я­ние между чле­на­ми серии также равно  2π, при­чем ни­ка­кое из них не сов­па­да­ет с кон­ца­ми от­рез­ка. Сле­до­ва­тель­но, в от­ре­зок по­па­да­ет лишь одно число из най­ден­ной серии. Это число

Ответ: б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть точка M  — точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка SBC, точка P  — се­ре­ди­на от­рез­ка BC, точка K  — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков AC и PD. За­ме­тим, что тре­уголь­ни­ки AKD и CKP по­доб­ны по двум углам, тогда По свой­ству точки пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан а тогда от­ку­да сле­ду­ет па­рал­лель­ность от­рез­ков MK и DS. Плос­кость долж­на пе­ре­се­кать плос­кость SDP по пря­мой, па­рал­лель­ной от­рез­ку SD, ведь плос­кость па­рал­лель­на от­рез­ку SD по усло­вию. Зна­чит, плос­кость про­хо­дит через точку K, а тогда и через точку C, по­то­му что точка C лежит на пря­мой AK.

б)  Если бо­ко­вые ребра пи­ра­ми­ды равны, то равны и их про­ек­ции. Вер­ши­на пи­ра­ми­ды про­ек­ти­ру­ет­ся в точку, рав­но­уда­лен­ную от всех вер­шин ос­но­ва­ния, то есть в точку пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей ос­но­ва­ния ABCD  — точку O.

Вве­дем си­сте­му ко­ор­ди­нат с на­ча­лом в точке B, ось Ox на­пра­вим как луч BC, ось Oy  — как луч BA, ось Oz на­пра­вим вверх. За­пи­шем те­перь ко­ор­ди­на­ты точек: Здесь мы ис­поль­зо­ва­ли, что

и то, что точ­кой M от­ре­зок SP де­лит­ся в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от вер­ши­ны. Со­ста­вим урав­не­ние плос­ко­сти SBC, пусть оно та­ко­во: Под­ста­вив ко­ор­ди­на­ты со­от­вет­ству­ю­щих точек, по­лу­чим:

от­ку­да B  =  –2C, D  =  0, A  =  0. Урав­не­ние плос­ко­сти имеет вид

Урав­не­ние плос­ко­сти имеет вид: Под­ста­вим ко­ор­ди­на­ты точек A, M, C:

от­ку­да Урав­не­ние плос­ко­сти имеет вид

Плос­кость SBC пер­пен­ди­ку­ляр­на век­то­ру Плос­кость пер­пен­ди­ку­ляр­на век­то­ру Най­дем ко­си­нус угла между плос­ко­стя­ми:

сле­до­ва­тель­но,

Ответ: б) 

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство:

За­ме­тим, что вы­ра­же­ние при­ни­ма­ет толь­ко по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния. Най­дем корни чис­ли­те­ля при усло­вии

Решим не­ра­вен­ство ме­то­дом ин­тер­ва­лов (см. рис.), по­лу­чим: или

Ответ:

Най­дем корни чис­ли­те­ля дру­гим спо­со­бом.

Ре­ше­ние. Общая масса пе­ре­во­зи­мо­го груза равна Так как гру­зо­подъ­ем­ность ва­го­на со­став­ля­ет 80 тонн, по­на­до­бит­ся не менее 5 ва­го­нов. По­ка­жем, что груз воз­мож­но пе­ре­вез­ти, ис­поль­зуя 5 ва­го­нов.

В три пер­вых ва­го­на за­гру­жа­ем по два боль­ших и 13 ма­лень­ких ящи­ков. В чет­вер­тый вагон за­гру­жа­ем один боль­шой ящик и 23 ма­лень­ких ящика. Остав­ши­е­ся 28 ма­лень­ких ящика за­гру­жа­ем в пятый вагон. Таким об­ра­зом, груз воз­мож­но пе­ре­вез­ти, ис­поль­зуя 5 ва­го­нов.

Ответ: 5 ва­го­нов.

Ре­ше­ние. а)  Пусть тогда по свой­ству угла между ка­са­тель­ной и се­ку­щей. В тре­уголь­ни­ке BCK по тео­ре­ме о сумме углов по­лу­ча­ем:

С дру­гой сто­ро­ны,

от­ку­да по­лу­ча­ем и Зна­чит, пря­мой.

б)  Тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный и впи­сан­ный, по­это­му центр окруж­но­сти O лежит на ги­по­те­ну­зе и делит ее по­по­лам. По тео­ре­ме о сред­ней линии тре­уголь­ни­ка рас­сто­я­ние от точки O до ка­те­та AC равно Ана­ло­гич­но рас­сто­я­ние от точки O до ка­те­та BC равно Ис­поль­зу­ем тео­ре­му Пи­фа­го­ра и име­ю­щи­е­ся дан­ные:

Из по­лу­чен­но­го за­клю­ча­ем: тогда

Ответ: б) 

Ре­ше­ние. Пусть число n за­пи­сы­ва­ет­ся циф­ра­ми a, b, c, а число m  — циф­ра­ми c, b, a. По усло­вию если с или b равны нулю, то все равно можно го­во­рить, что число m за­пи­сы­ва­ет­ся ука­зан­ны­ми циф­ра­ми, но его за­пись на­чи­на­ет­ся с од­но­го или двух нулей. Тогда и от­ку­да

а)  Если n  =  50m, то n крат­но 10, по­это­му c  =  0. Далее, от­ку­да по­это­му a крат­но 49, что не­воз­мож­но.

б)  По­сколь­ку то в со­от­но­ше­нии левая часть не пре­вос­хо­дит а пра­вая часть не мень­ше, чем Если то от­сю­да сле­ду­ет, что и т. е. Но тогда по­это­му Про­ти­во­ре­чие. Зна­чит,

б)  За­ме­тим, что и тоже крат­ны m. Зна­чит, если m  — трех­знач­ное число, то оно яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем од­но­го из чисел вида 99x, где Вы­пи­шем все трех­знач­ные де­ли­те­ли этих чисел. В роли x можно брать 5, 6, 7, 8, 9 (осталь­ные числа яв­ля­ют­ся де­ли­те­ля­ми этих и все равно будут най­де­ны). По­лу­ча­ем:

—  555 де­лит­ся на 555, 185, 111;

—  666 де­лит­ся на 666, 333, 222, 111;

—  777 де­лит­ся на 777, 259, 111;

—  888 де­лит­ся на 888, 444, 296, 222, 148, 111;

—  999 де­лит­ся на 999, 333, 111.

Кроме того пер­вая цифра m долж­на быть мень­ше по­след­ней. По­лу­ча­ем ва­ри­ан­ты 185, 259, 296, 148. Не­труд­но убе­дить­ся, что со­от­вет­ствен­но 581, 952, 692, 841 на эти числа не де­лят­ся. Итак, число m не трех­знач­ное, а по­то­му c  =  0.

в)  При c  =  0 по­лу­ча­ем, что 100a + 10b крат­но 10b + a, при­чем част­ное не­чет­но. Зна­чит, также крат­но при­чем част­ное четно. За­ме­тим сразу, что при a  =  b по­лу­чим что не­чет­но. Зна­чит, по­это­му со­сто­ит из двух раз­лич­ных цифр и не крат­но 11. Сле­до­ва­тель­но, даже число будет крат­но и част­ное будет чет­ным, так как со­мно­жи­тель 11 не может по­вли­ять ни на це­лость, ни на чет­ность числа Сле­до­ва­тель­но, число 9a четно, а по­то­му a также четно. Тогда также четно и для чет­но­сти не­об­хо­ди­мо, чтобы a де­ли­лось на 4. Зна­чит, a  =  4 или a  =  8.

Если a  =  4, то число долж­но быть крат­но од­но­му из чисел, за­кан­чи­ва­ю­щих­ся на 4 и не крат­ных 4 (иначе част­ное будет не­чет­но). Это числа (осталь­ные боль­ше 36)  — ни одно из них не под­хо­дит.

Если a  =  8, то долж­но быть крат­но од­но­му из чисел, за­кан­чи­ва­ю­щих­ся на 8 и не крат­ных 8, иначе част­ное будет не­чет­но. Это числа   — из них под­хо­дит толь­ко 18.

Итак, a  =  8, b  =  1, c  =  0, n  =  810.

Ответ: а)  нет, б)  0, в)  810.