PDF-версии: 1. Тип 13 № 670044 
Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа, Иррациональные уравнения и неравенства, Тригонометрические уравнения и неравенства
Уравнения. Тригонометрия и иррациональности
i
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [20; 25].
Решение. а) Решим уравнение:
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку [20; 25]. Заметим, что
тогда
Таким образом, отрезку [20; 25] принадлежат корни 
и 
Ответ: а) 
б) и
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б) и
б) и 670044
а) б) и
б) и 
следовательно, точка P — середина ребра SA, а точка Q — середина ребра SD. Рассмотрим сечение пирамиды, проходящее через ее высоту SH перпендикулярно прямой AD. Обозначим M и N — середины сторон BC и AD соответственно, пусть T — середина отрезка PQ, и пусть высота SH и сечение BPQC пересекаются в точке O. Из теоремы Менелая для треугольника HSN и секущей TO получаем:
Следовательно, точка H — середина отрезка MN.
тогда: 
Заметим, что эта высота является также и высотой пирамиды SBPTM, проведенной из вершины S. Пусть β — угол между боковой гранью SBP и основанием BPTM. Тогда:
тогда
Заполним таблицу:
пополам. Отрезок DN перпендикулярен отрезку AM и делит сторону AB в отношении AN : NB = 5 : 1.
откуда
и исследуем её с помощью производной (см. рис.):
соответствуют три различных значения x, каждому из значений 
и 
соответствуют по два различных значения x, а каждому значению 
или 
соответствуют по одному значению x.
тогда исходное уравнение принимает вид
или 
и при этом 
Рассмотрим эти случаи.
значит, при 
имеем:
аналогично получаем:
Тогда
не может являться корнем уравнения (⁎) ни при каком значении параметра a.
Если на каком-то этапе получается не натуральное число, то последовательность заканчивается последним натуральным числом. Чему равен последний член этой последовательности?
задач, а всего к среде оставалось решить 
задач. Во вторник было решено 
задач, а оставалось ко вторнику не решено 
задач. В понедельник было решено 
задачи, а всего нужно было решить 
задачи.
тогда
где x нечетно, то последним членом последовательности bn станет x, а последним членом an 
Если же x = 1, то в какой-то момент получим bn = 4, откуда an = 2 и an + 1 = 0, что недопустимо, поскольку нуль не натуральное число, а потому последовательность остановится на двойке.
то 
то 2, в противном случае 
где x — наибольший нечетный делитель числа a1 + 2; в) 2.