PDF-версии: 1. Тип 13 № 668795 
Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус, Область определения уравнения
Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы приведения
Уравнения. Тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ
i
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Покажем, что знаменатели дробей в левой и правой частях уравнения равны:
Следовательно, числители равны, а потому уравнение равносильно системе:
б) Отберем корни при помощи двойного неравенства:
чему удовлетворяет целое 
Найденному значению параметра соответствует 
Ответ: 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
668795
Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус, Область определения уравнения
Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы приведения
По теореме Пифагора в треугольнике SBC: 
Поскольку 
получаем, что 
потому 
и 
Тогда 
Из прямоугольных BKS, SKL и BHK последовательно получаем:
тогда исходное неравенство примет вид:
тогда начисленные проценты будут составлять:
Заметим, что на отрезке 
принимает значение 1 в точке 
и только в ней. Тогда для того, чтобы исходное уравнение не имело корней на отрезке 
необходимо и достаточно, чтобы уравнение 
не имело корней на полуинтервале 
где 
найдём множество ее значений при помощи производной:
и 
Вычислим значения функции в стационарных точках, на левой границе области определения и предел при функции при стремлении к правой границе области определения:
не имеет решений при 
или 
космонавтов. Для 20 можно построить пример. Разобьем их на два отряда по 10 и в каждом организуем 5 экипажей (то есть экипажи разных отрядов вообще не пересекаются между собой): 1234, 1567, 2589, 3680, 4790. Нетрудно видеть, что каждый космонавт входит ровно в два экипажа и для каждой пары экипажей одного отряда есть ровно один общий космонавт, этих пар как раз тоже 10.