Ре­ше­ние. а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

б)  Рас­сто­я­ние между чле­на­ми най­ден­ной серии равно 2π, по­это­му в от­ре­зок дли­ной 1,5π по­па­да­ет не более од­но­го корня. Ясно, что этот ко­рень равен

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть P  — центр грани AA₁B₁B, Q  — центр грани BB₁C₁C. Плос­кость α со­дер­жит пря­мую PQ, па­рал­лель­ную плос­ко­сти ABC, по­это­му плос­кость α пе­ре­се­ка­ет плос­кость ABC по пря­мой, па­рал­лель­ной PQ, то есть па­рал­лель­ной AC.

Пусть плос­кость α пе­ре­се­ка­ет пря­мую AB в точке E, а пря­мую BC  — в точке F. За­ме­тим, что если про­длить пря­мую CM до пе­ре­се­че­ния с AD, то по­лу­чим, что CN : 2AD  =  NO : OD  =  1 : 4. Кроме того, если пря­мые AC и ND пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K, то NK : KD  =  NC : AD  =  1 : 2. Тогда

от­ку­да Сле­до­ва­тель­но, AE : EB  =  1 : 4.

б)  Рас­смот­рим тра­пе­цию EPQF: Пусть AB  =  x, тогда Имеем:

Тогда

Пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка EMNF равна

Тогда если φ  — ис­ко­мый угол, то

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Вос­поль­зу­ем­ся ме­то­дом ра­ци­о­на­ли­за­ции и ме­то­дом ин­тер­ва­лов:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть сумма кре­ди­та равна S тыс. руб. (по усло­вию S  =  500), а вы­пла­та в 2025 году равна x тыс. руб. Со­ста­вим таб­ли­цу:

Год	Долг в ян­ва­ре (с про­цен­та­ми), тыс. руб.	Вы­пла­та, тыс. руб.	Долг в июле, тыс. руб.
2024
2025		x
2026		x
2027		x
2028

Сумма всех вы­плат по усло­вию равна 676,8 тыс. руб., тогда

Таким об­ра­зом, в 2025 году платёж со­ста­вит 200 тыс. руб.

Ответ: 200 000.

Ре­ше­ние. а)  Ис­поль­зу­ем тео­ре­му Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка ODE. Тогда

от­ку­да Пло­щадь тре­уголь­ни­ка BOM равна

Пусть M  — се­ре­ди­на OD. Имеем:

Тогда

Таким об­ра­зом, пря­мая BT делит пло­щадь ше­сти­уголь­ни­ка ABCDEF в от­но­ше­нии 5 : 13.

б)  Пусть впи­сан­ная в тре­уголь­ник BTE окруж­ность ка­са­ет­ся пря­мой BT в точке R, а впи­сан­ная в тре­уголь­ник BCT окруж­ность ка­са­ет­ся пря­мой BT в точке Q. Тогда

от­ку­да

Из пунк­та а) BE  =  2BC. По тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка CDT по­лу­чим, что

сле­до­ва­тель­но, Тем самым

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

Пусть За­ме­тим, что каж­до­му зна­че­нию t из про­ме­жут­ка найдётся хотя бы одно со­от­вет­ству­ю­щее зна­че­ние x, а лю­бо­му про­че­му t не со­от­вет­ству­ет ни од­но­го зна­че­ния x. Рас­смот­рим функ­цию где найдём мно­же­ство ее зна­че­ний при по­мо­щи про­из­вод­ной:

Про­из­вод­ная равна нулю толь­ко в точке ( не вхо­дит в об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции f ). Вы­чис­лим зна­че­ния функ­ции в гра­нич­ных точ­ках об­ла­сти опре­де­ле­ния и в ста­ци­о­нар­ной точке:

Мно­же­ством зна­че­ний функ­ции f(t) яв­ля­ет­ся про­ме­жу­ток

Таким об­ра­зом, урав­не­ние а зна­чит, и ис­ход­ное урав­не­ние не имеют ре­ше­ний при или

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть число за­пи­сы­ва­лось циф­ра­ми a, b, c, d. Тогда оно было равно Из него по­лу­чи­лось

а)  Урав­не­ние сво­дит­ся к Взяв, на­при­мер, и любое d (на­при­мер, 0) по­лу­чим

б)  Урав­не­ние не­раз­ре­ши­мо, по­сколь­ку 2075 не крат­но трем.

в)  Сразу за­ме­тим, что числа, от­ли­ча­ю­щи­е­ся лишь по­след­ней циф­рой, дают оди­на­ко­вый ответ. Кроме того, и дру­гих таких чисел нет, по­сколь­ку для осталь­ных чисел а тогда

Те­перь ис­сле­ду­ем числа У всех у них и по­то­му они дают от­ве­ты До­ка­жем, что раз­ные числа не могут дать оди­на­ко­вый ответ. В самом деле, пусть тогда

Раз­ность двух цифр может быть крат­на 11 толь­ко если эти цифры равны, то есть а тогда и Итак, все эти числа (их дают раз­ные от­ве­ты. Зна­чит, всего от­ве­тов 81 (учи­ты­вая 1998).

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  81.