Ре­ше­ние. а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

б)  Отберём корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку на три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти (см. рис.). По­лу­ча­ем: и

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть точки A₁, B₁ и C₁  — вер­ши­ны куба, ле­жа­щие на реб­рах DA, DB и DC со­от­вет­ствен­но, пусть точки E, F и G  — вер­ши­ны куба, ле­жа­щие в бо­ко­вых гра­нях DAB, DAC и DBC со­от­вет­ствен­но, и пусть точка  H  — центр тре­уголь­ни­ка ABC, яв­ля­ю­щий­ся ос­но­ва­ни­ем вы­со­ты пи­ра­ми­ды.

На про­дол­же­нии диа­го­на­ли DE грани куба DA₁EB₁ возь­мем точку K так, что угол DHK пря­мой. Тогда пря­мая HK лежит на ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды, пер­пен­ди­ку­ляр­на сто­ро­не AB, а точка K  — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB. По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах DK также пер­пен­ди­ку­ляр­на AB.

Пусть ребро куба равно a, тогда Из по­до­бия пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков KEH и HED по­лу­ча­ем от­ку­да на­хо­дим:

б)  Пусть ребро куба равно a, по усло­вию пло­щадь по­верх­но­сти куба от­ку­да Из п. а) бо­ко­вые ребра пи­ра­ми­ды равны  3a, ребра ос­но­ва­ния  — Таким об­ра­зом, пло­щадь бо­ко­вой грани пло­щадь ос­но­ва­ния сле­до­ва­тель­но,

Ответ: б)

При­ве­дем дру­гую идею для пунк­та а).

Пусть длины ребер, ис­хо­дя­щих из вер­ши­ны D, равны a, и пусть точка H  — центр равноcто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка ABC. Най­дем вы­со­ту пи­ра­ми­ды:

По усло­вию вы­со­та пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся диа­го­на­лью куба. Ребро куба в мень­ше диа­го­на­ли, по­это­му оно равно то есть в три раза мень­ше бо­ко­во­го ребра пи­ра­ми­ды.

Ре­ше­ние. Пе­ре­несём дробь из пра­вой части не­ра­вен­ства в левую, при­ведём к об­ще­му зна­ме­на­те­лю, упро­стим и вос­поль­зу­ем­ся ме­то­дом ин­тер­ва­лов:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть по­вы­ша­ю­щий ко­эф­фи­ци­ент За­пол­ним таб­ли­цу:

Номер ме­ся­ца	Долг на 1-е число ме­ся­ца, тыс. руб.	Вы­пла­та, тыс. руб.	Долг на 15-е число ме­ся­ца, тыс. руб.
1
2
3
4-29
30
31
32

Найдём B  —  сумму всех вы­плат. Вы­пла­ты со 2-⁠го по 31-⁠й месяц пред­став­ля­ют собой ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, по­это­му

По усло­вию банку было вы­пла­че­но 2061,5 тысяч руб­лей, тогда

Зна­чит,

Ответ: 1550.

Ре­ше­ние. а)  Пусть ос­но­ва­ния тра­пе­ции  — сто­ро­ны AD и BC. Тре­уголь­ни­ки ABC и DCA по­доб­ны. За­ме­тим, что если то но тогда тра­пе­ция ABCD  — па­рал­ле­ло­грамм. Зна­чит, а тогда

б)  Пусть точки O₁ и O₂  — цен­тры окруж­но­стей, точки P и Q  — их точки ка­са­ния с от­рез­ком AC. Из пунк­та а) сле­ду­ет, что от­ку­да Пусть для опре­де­лен­но­сти и Тогда:

По фор­му­ле ра­ди­у­са впи­сан­ной в пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник окруж­но­сти на­хо­дим:

Тогда

Таким об­ра­зом, на­хо­дим:

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Для по­ло­жи­тель­ных x, y и z, по­лу­ча­ем:

Опре­де­лим мно­же­ство зна­че­ний пра­вой части по­лу­чен­но­го ра­вен­ства. Пре­об­ра­зу­ем по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние:

тогда

от­ку­да

По не­ра­вен­ству между сред­ним ариф­ме­ти­че­ским и сред­ним гео­мет­ри­че­ским по­лу­ча­ем:

а по­то­му:

Не­ра­вен­ства о сред­них об­ра­ща­ют­ся в ра­вен­ства в слу­чае ра­вен­ства пе­ре­мен­ных. По­это­му при до­сти­га­ет­ся зна­че­ние По­ка­жем, что а сколь угод­но близ­ко при­бли­жа­ет­ся к еди­ни­це. За­фик­си­ру­ем зна­че­ния пе­ре­мен­ных y и z, вы­чис­лим пре­дел при х, стре­мя­щим­ся к бес­ко­неч­но­сти. При фик­си­ро­ван­ных зна­че­ни­ях y и z функ­ция а(х) яв­ля­ет­ся дроб­но-ра­ци­о­наль­ной, при­чем чис­ли­тель  — ли­ней­ный дву­член по пе­ре­мен­ной х, а зна­ме­на­тель  — квад­рат­ный трех­член. Сле­до­ва­тель­но,

Таким об­ра­зом, при ис­ход­ное не­ра­вен­ство имеет хотя бы одно ре­ше­ние где x, y и z  — по­ло­жи­тель­ные числа.

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть сумма семи наи­мень­ших чисел равна a, вось­мое число равно b, сумма семи наи­боль­ших равна c. Тогда по усло­вию от­ку­да Ана­ло­гич­но

а)  Если наи­мень­шее из числе равно 5, то сумма семи наи­мень­ших как ми­ни­мум

и тогда что не­воз­мож­но.

б)  Если сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел равно 13, то их сумма равна от­ку­да

Но тогда сумма семи наи­боль­ших чисел не мень­ше

что не­воз­мож­но.

в)  За­ме­тим, что

По­это­му нужно сде­лать b как можно мень­ше. При этом

от­ку­да

Сде­лать можно, взяв, на­при­мер, набор 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 62. Для него по­лу­чим

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)