Ре­ше­ние. а)  При­ме­ним ос­нов­ное три­го­но­мет­ри­че­ское тож­де­ство и фор­му­лу си­ну­са двой­но­го угла:

Пе­ре­не­сем вы­ра­же­ние из пра­вой части в левую и раз­ло­жим на мно­жи­те­ли:

Таким об­ра­зом, урав­не­ние рав­но­силь­но сле­ду­ю­щим:

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи двой­ных не­ра­венств:

Най­ден­ным зна­че­ни­ям k, l и m со­от­вет­ству­ют корни: 0,

Ответ: а) б) 0,

Ре­ше­ние. а)  Пусть O  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей ос­но­ва­ния ABCD, она же яв­ля­ет­ся цен­тром сферы Ω. Сле­до­ва­тель­но,

Обо­зна­чим G  — про­ек­цию точки F на ос­но­ва­ние ABCD. Точка G лежит на диа­го­на­ли AC, так как плос­ко­сти AFC и ABC пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Из точки B на диа­го­наль AC опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр BH, за­ме­тим, что BH пер­пен­ди­ку­ля­рен от­рез­ку FG (как вы­со­те пи­ра­ми­ды FABCD) и, сле­до­ва­тель­но, от­ре­зок BH пер­пен­ди­ку­ля­рен плос­ко­сти AFC. Таким об­ра­зом, CH  — про­ек­ция BC на плос­кость AFC, а по­то­му при этом На­хо­дим:

Пусть точка P  — про­ек­ция точки L на плос­кость ABC, тогда она лежит на диа­го­на­ли AC и рав­но­уда­ле­на от точек M и C. Таким об­ра­зом, тре­уголь­ник PMC рав­но­бед­рен­ный и по­до­бен тре­уголь­ни­ку OBC с ко­эф­фи­ци­ен­том зна­чит,

На­хо­дим:

от­ку­да по­лу­ча­ем, что

б)  Из точки A на ребро LC опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр AK. Так как AC  — диа­метр сферы, то точка K (вер­ши­на пря­мо­го угла AKC) лежит на сфере. Сле­до­ва­тель­но, внут­ри сферы лежит от­ре­зок CK. Таким об­ра­зом, на­хо­дим:

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Пусть тогда

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

Ответ:

Ре­ше­ние. В те­че­ние 8 лет долг в июле каж­до­го года дол­жен быть на одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года, зна­чит, еже­год­но долг умень­ша­ет­ся на  тыс. руб. Пусть За­пол­ним таб­ли­цу.

Год	Долг в ян­ва­ре, тыс. руб.	Вы­пла­та, тыс. руб.	Долг в июле, тыс. руб.
2025			400
2026			350
2027			300
2028			250
2029			200
2030			150
2031			100
2032			50
2033			0

Найдём из таб­ли­цы суммы вы­плат за пер­вые и за по­след­ние че­ты­ре года:

Учи­ты­вая, что сумма всех вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та со­ста­вит 650 тыс. руб., а общая сумма вы­плат за пер­вые че­ты­ре года боль­ше общей суммы вы­плат за по­след­ние че­ты­ре года на 140 тыс. руб., по­лу­ча­ем си­сте­му урав­не­ний

Сле­до­ва­тель­но, и

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть диа­го­на­ли квад­ра­та пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E. Тогда где R  — ра­ди­ус окруж­но­сти. Зна­чит, от­ку­да

За­ме­тим, что

Таким об­ра­зом, на­хо­дим:

б)  Най­дем пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD:

Ответ: 30.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим функ­цию Тогда урав­не­ние при­мет вид

что в силу воз­рас­та­ния f (так как рав­но­силь­но урав­не­ни­ям

При по­лу­чен­ное урав­не­ние не имеет ре­ше­ний, а при имеет ре­ше­ния, если от­ку­да и сле­ду­ет ответ.

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть число со­сто­я­ло из цифр a и c, а вста­ви­ли в него цифру b. Тогда Пусть также

а)  Если x  =  8, то

от­ку­да Зна­чит, c крат­но 10 и по­то­му c  =  0. Но тогда от­ку­да что не­воз­мож­но.

б)  При n  =  18 и m  =  108 по­лу­ча­ем, что x  =  6. До­пу­стим, Тогда

от­ку­да Но

Про­ти­во­ре­чие.

в)  При n  =  10 и m  =  190 по­лу­ча­ем, что x  =  19. До­пу­стим, Тогда

от­ку­да Но

Про­ти­во­ре­чие.

Ответ: а) нет; б)  6; в)  19.