Ре­ше­ние. а)  По след­ствию из ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства при имеем:

Тогда:

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти (см. рис). Под­хо­дят:

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Плос­кость се­че­ния пе­ре­се­ка­ет ос­но­ва­ние приз­мы ABCD по пря­мой AC, сле­до­ва­тель­но, па­рал­лель­ное ос­но­ва­ние A₁B₁C₁D₁ се­че­ние пе­ре­се­ка­ет по пря­мой, па­рал­лель­ной пря­мой AC и про­хо­дя­щей через точку K. Пусть L  — точка пе­ре­се­че­ния этой пря­мой с реб­ром B₁C₁. Таким об­ра­зом, се­че­ние  — че­ты­рех­уголь­ник AKLC с двумя па­рал­лель­ны­ми сто­ро­на­ми AC и KL. За­ме­тим, что тре­уголь­ни­ки B₁KL и B₁A₁C₁ по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия

то есть

Сле­до­ва­тель­но, две дру­гие сто­ро­ны се­че­ния AK и CL не па­рал­лель­ны, и че­ты­рех­уголь­ник AKLC яв­ля­ет­ся тра­пе­ци­ей. Из по­до­бия также сле­ду­ет, что KA₁  =  LC₁, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки AKA₁ и CLC₁ равны, а, зна­чит, AK  =  CL, то есть тра­пе­ция AKLC  — рав­но­бед­рен­ная.

б)  Из вер­шин тра­пе­ции K и L на ос­но­ва­ние AC опу­стим вы­со­ты KP и LQ. На­хо­дим:

Таким об­ра­зом, пло­щадь се­че­ния равна

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство:

Ответ:

При­ме­ча­ние.

Пре­об­ра­зо­ва­ние (⁎) верно, по­то­му что зна­ме­на­тель сто­я­щей под зна­ком ло­га­риф­ма дроби по­ло­жи­те­лен.

Ре­ше­ние. Вы­ра­зим P через Q: При­быль фирмы со­став­ля­ет:

Наи­боль­ше­го зна­че­ния квад­ра­тич­ная функ­ция с от­ри­ца­тель­ным стар­шим ко­эф­фи­ци­ен­том до­сти­га­ет при

За­ме­тим, что при не­ра­вен­ство верно. Зна­чит, фирма про­из­во­дит Q₀ еди­ниц то­ва­ра. Тогда сумма на­ло­гов, со­бран­ных го­су­дар­ством будет

Наи­боль­ше­го зна­че­ния квад­ра­тич­ная функ­ция с от­ри­ца­тель­ным стар­шим ко­эф­фи­ци­ен­том до­сти­га­ет в вер­ши­не, то есть при

Най­ден­ное зна­че­ние при­над­ле­жит за­дан­но­му ин­тер­ва­лу воз­мож­ных зна­че­ний t. Таким об­ра­зом, сумма на­ло­гов, со­бран­ных го­су­дар­ством, будет мак­си­маль­ной при

Ответ: 12 500.

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что

Пусть AC  =  x. По тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ACO по­лу­чим, что По­ло­жи­тель­ный ко­рень этого урав­не­ния равен По­это­му Ана­ло­гич­но CB  =  CO. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  За­ме­тим, что тре­уголь­ни­ки ACO и BCO рав­но­бед­рен­ные, по­это­му Ра­ди­ус окруж­но­сти равен 3, по­это­му пло­щадь сек­то­ра AOB равна

Най­дем пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков ACO и BCO:

Тогда пло­щадь кри­во­ли­ней­ной фи­гу­ры ABC равна

Ответ: б)  

Ре­ше­ние. Най­дем об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции

Квад­рат­ный ко­рень опре­де­лен для не­от­ри­ца­тель­ных зна­че­ний ар­гу­мен­та:

Пре­об­ра­зу­ем вы­ра­же­ние, сто­я­щее под зна­ком пер­во­го из кор­ней:

Решим урав­не­ние

от­ку­да

Срав­ним числа:

Таким об­ра­зом,

На об­ла­сти опре­де­ле­ния верно не­ра­вен­ство а по­то­му

Рас­смот­рим урав­не­ние Пра­вая часть долж­на быть опре­де­ле­на, а по­то­му долж­но быть вер­ным не­ра­вен­ство от­ку­да Кроме того, долж­но вы­пол­нять­ся не­ра­вен­ство от­ку­да по­лу­ча­ем:

На­хо­дим корни урав­не­ния:

Срав­ним числа:

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем, что не­ра­вен­ство рав­но­силь­но со­во­куп­но­стям:

Пред­ста­вим функ­цию f в виде

За­ме­тим, что при функ­ция воз­рас­та­ет; функ­ция также воз­рас­та­ет, так как а стар­ший ко­эф­фи­ци­ент мень­ше 0; функ­ция убы­ва­ет; функ­ция также убы­ва­ет, так как а стар­ший ко­эф­фи­ци­ент мень­ше 0. Про­из­ве­де­ние не­от­ри­ца­тель­ных воз­рас­та­ю­щих функ­ций есть не­от­ри­ца­тель­ная воз­рас­та­ю­щая функ­ция; сумма убы­ва­ю­щих функ­ций  — убы­ва­ю­щая функ­ция; част­ное не­от­ри­ца­тель­ной воз­рас­та­ю­щей и по­ло­жи­тель­ной убы­ва­ю­щей функ­ции  — воз­рас­та­ю­щая функ­ция. Таким об­ра­зом, все зна­че­ния функ­ции f от до f(5) при­ни­ма­ют­ся по од­но­му разу. Най­дем зна­че­ния функ­ции в край­них точ­ках:

Кроме того, Сле­до­ва­тель­но, урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние при усло­вии

Срав­ним числа:

Тем самым най­де­но, что

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть на доске за­пи­са­но 30 зе­ле­ных чисел, тогда по­след­нее число можно найти по фор­му­ле:

Тогда сумма всех зе­ле­ных чисел со­ста­вит 1395.

Те­перь за­ме­ним зе­ле­ное число 27 на крас­ное число 24, тогда сумма чисел на­пи­сан­ных на доске будет равна

При этом на доске на­пи­са­ны толь­ко крат­ные 3 числа.

б)  Ясно, что сумма 30 зелёных чисел, при­ведённая в пунк­те а), ми­ни­маль­на, по­сколь­ку ми­ни­маль­но зна­че­ние (при боль­ших зна­че­ни­ях сумма будет воз­рас­тать). Чтобы по­лу­чить ми­ни­маль­но воз­мож­ную сумму 29 зелёных чисел, вы­чтем из ми­ни­маль­но воз­мож­ной суммы 30 зелёных чисел самое боль­шое  — по­след­нее число, рав­ное 90:

Те­перь, чтобы по­лу­чить ми­ни­маль­но воз­мож­ную сумму 29 зелёных и 1 крас­но­го чисел, при­ба­вим к ми­ни­маль­но воз­мож­ной сумме 29 зелёных чисел ми­ни­маль­но воз­мож­ное крас­ное число, то есть число 8:

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем, что ми­ни­маль­но воз­мож­ная сумма 29 зелёных и 1 крас­но­го чисел а это озна­ча­ет, что, если на доске на­пи­са­но толь­ко 1 крас­ное число, то сумма чисел не может быть равна 1066.

в)  Пусть n - число крас­ных чисел, тогда число зелёных со­ста­вит (30-n). Суммы крас­ных и зелёных чисел, по фор­му­ле суммы ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии будут со­став­лять:

и

Сумма всех чисел S_o долж­на быть по край­ней мере мень­ше или равна 1066, тогда

Зна­чит, не­об­хо­ди­мо за­ме­нить не менее 7 зе­ле­ных чисел. В ряду из 30 зелёных чисел за­ме­ним зе­ле­ные числа на крас­ные: 90 на 8, 87 на 16, 84, на 24, 81 на 32, 78 на 40, 75 на 48. Таким об­ра­зом, сумма за­пи­сан­ных на доске чисел со­ста­вит:

Те­перь за­ме­ним еще 66 на 64, по­лу­чим:

Таким об­ра­зом, наи­мень­шее ко­ли­че­ство крас­ных чисел равно 7.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  7.