Ре­ше­ние. а)  При­ме­ним фор­му­лы при­ве­де­ния, по­лу­чим:

Раз­де­лив обе части на на­хо­дим:

б)  Най­дем корни, ле­жа­щие на от­рез­ке :

Най­ден­но­му зна­че­нию па­ра­мет­ра со­от­вет­ству­ет ко­рень

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть вы­со­та ци­лин­дра равна H, а ра­ди­ус ос­но­ва­ния R. Тогда его объем сле­до­ва­тель­но, За­ме­тим, что, так как точка C рав­но­уда­ле­на от ос­но­ва­ний ци­лин­дра, то вы­со­та тет­ра­эд­ра O₁ABC равна При этом пло­щадь ос­но­ва­ния

сле­до­ва­тель­но,

б)  Рас­сто­я­ние между скре­щи­ва­ю­щи­ми­ся пря­мы­ми равно рас­сто­я­нию от одной из них до плос­ко­сти про­хо­дя­щей па­рал­лель­но ей через вто­рую пря­мую. Пусть точки A₂ и B₂ лежат на окруж­но­сти верх­не­го ос­но­ва­ния так что AA₂ и BB₂  — об­ра­зу­ю­щие ци­лин­дра. Тогда пря­мые AO₁ и A₂O₂  — па­рал­лель­ны, сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно рас­сто­я­нию от пря­мой AO₁ до плос­ко­сти CA₂O₂. На­при­мер, H_O1  — длине вы­со­ты пи­ра­ми­ды O₁CA₂O₂ опу­щен­ной из вер­ши­ны O₁ на плос­кость CA₂O₂. Из тре­уголь­ни­ка AO₁B и пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков ABC, BCO₁ и AСO₂ на­хо­дим:

С дру­гой сто­ро­ны, из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AO₁O₂ по­лу­ча­ем:

Таким об­ра­зом,

сле­до­ва­тель­но, учи­ты­вая п. а) то есть R = 1,

Вы­чис­лим объем пи­ра­ми­ды O₁CA₂O₂, счи­тая тре­уголь­ник O₁O₂A₂ ос­но­ва­ни­ем. Пря­мые BB₁ и O₁O₂ па­рал­лель­ны и пер­пен­ди­ку­ляр­ны ос­но­ва­нию, вы­со­та h_C, опу­щен­ная из вер­ши­ны С, равна вы­со­те тре­уголь­ни­ка AO₁B₁, опу­щен­ной из вер­ши­ны B. Таким об­ра­зом,

Под­став­ляя зна­че­ния R и H, по­лу­ча­ем При по­мо­щи фор­му­лы Ге­ро­на вы­чис­лим пло­щадь тре­уголь­ни­ка CA₂O₂: Тогда

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Левая часть не­ра­вен­ства при­ни­ма­ет толь­ко по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния. Раз­де­лим на нее обе части, по­лу­чим в левой части еди­ни­цу. Упро­стим пра­вую часть по­лу­чен­но­го не­ра­вен­ства:

Сле­до­ва­тель­но, ис­ход­ное не­ра­вен­ство рав­но­силь­но си­сте­мам:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть на пер­вом ком­би­на­те x че­ло­век за­ня­ты из­го­тов­ле­ни­ем де­та­лей А, где тогда 300 – x че­ло­век за­ня­ты из­го­тов­ле­ни­ем де­та­лей B. Пусть на вто­ром ком­би­на­те y че­ло­век за­ня­ты из­го­тов­ле­ни­ем де­та­лей А, где тогда 600 – y че­ло­век за­ня­ты из­го­тов­ле­ни­ем де­та­лей B. Всего на двух ком­би­на­тах будет из­го­тов­ле­но 9x + 3y де­та­лей А и 3(300 – x) + 9(600 – y) де­та­лей B. Для из­го­тов­ле­ния из­де­лия нужны 2 де­та­ли A и 3 де­та­ли В. Чтобы можно было со­брать наи­боль­шее ко­ли­че­ство из­де­лий, долж­но вы­пол­нять­ся ра­вен­ство

от­ку­да

Ко­ли­че­ство из­де­лий S будет равно по­ло­ви­не ко­ли­че­ства де­та­лей A:

Наи­боль­шее зна­че­ние воз­рас­та­ю­щей ли­ней­ной функ­ции до­сти­га­ет­ся при наи­боль­шем воз­мож­ном зна­че­нии x, то есть при x  =  300. При этом y  =  100, а по­то­му на пер­вом ком­би­на­те будет из­го­тов­ле­но толь­ко 2700 де­та­лей А, а на вто­ром ком­би­на­те 300 де­та­лей А и 500 · 9  =  4500 де­та­лей В. В ре­зуль­та­те за смену можно будет со­брать  из­де­лий.

Ответ: 1500.

Ре­ше­ние. а)  Пусть пря­мая FQ пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AB в точке K, сто­ро­ну AD  — в точке L, сто­ро­ну BC  — в точке M, сто­ро­ну CD  — в точке P, и пусть пря­мая DE пе­ре­се­ка­ет AB в точке P. Тре­уголь­ни­ки BPE и CDE равны по сто­ро­не и двум углам, сле­до­ва­тель­но, BP  =  CD, тогда

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков OPF и CDF сле­ду­ет, что Зна­чит, по­сколь­ку тре­уголь­ни­ки KOF и NCF по­доб­ны, и по­сколь­ку тре­уголь­ни­ки KOQ и NDQ равны. Если то и

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков KAL и NDL по­лу­ча­ем:

б)  Из пунк­та а) сле­ду­ет, что Кроме того, Тогда

В тре­уголь­ни­ке OCD и па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD общие сто­ро­на CD и вы­со­та, про­ве­ден­ная к ней. Сле­до­ва­тель­но, а по­то­му

Ответ: б)  7 : 20.

Ре­ше­ние. Пусть тогда

Вернёмся к ис­ход­ным пе­ре­мен­ным:

По­лу­чен­ное урав­не­ние яв­ля­ет­ся квад­рат­ным при любом зна­че­нии па­ра­мет­ра a, зна­чит, оно имеет ровно один ко­рень тогда и толь­ко тогда, когда его дис­кри­ми­нант

равен нулю. По­лу­ча­ем:

Ответ:

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что при не­чет­ном n число n – 1 четно. По­это­му

Ана­ло­гич­но при чет­ном n число не­чет­но. По­это­му

Кроме того, Зна­чит, по­сле­до­ва­тель­ность имеет вид 1, 4, 2, 5, 3, 6, 4, 7 ...

а)  Оче­вид­но, что сов­па­дать могут толь­ко член с чет­ным и член с не­чет­ным но­ме­ром, при­чем для каж­до­го члена с чет­ным есть ровно один член с не­чет­ным, рав­ный ему. При этом по­это­му и

б)  Если   — чет­ное число, то сумма равна

За­ме­тим, что

по­это­му это число квад­ра­том не будет.

Если   — не­чет­ное число, то сумма равна

При и по­лу­ча­ем со­от­вет­ствен­но 1 и 25. Это квад­ра­ты.

При и по­лу­ча­ем со­от­вет­ствен­но 7 и 15. Это не квад­ра­ты.

При за­ме­тим, что

по­это­му это число квад­ра­том не будет.

Итак, под­хо­дят толь­ко и

в)  Ясно, что число

не­чет­но: пер­вое сла­га­е­мое  — про­из­ве­де­ние двух под­ряд иду­щих на­ту­раль­ных чисел и по­то­му четно, вто­рое четно, тре­тье не­чет­но. По­это­му оно не кон­ча­ет­ся на 6. Если же кон­ча­ет­ся на 6, то кон­ча­ет­ся на 0. По­сколь­ку это квад­рат, то он кон­ча­ет­ся на два нуля, по­это­му до при­бав­ле­ния чет­вер­ки число кон­ча­лось на 96.

Ответ: а)  5; б)  1,7; в)  9.