1. Тип 13 № 639768 
Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус
Уравнения. Тригонометрические уравнения, разные задачи
i
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Преобразуем уравнение:
б) Отберем корни при помощи двойных неравенств:
откуда k = 0, следовательно, 
Далее,
откуда 
или 
Найденным значениям параметра соответствуют корни 
и 
Ответ: а) 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
639768
а) б)
Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус
Таким образом, 
тогда
Пусть четвертый и пятый платежи составляли x тыс. руб. Заполним таблицу. 
По условию сумма выплат составит 457,5 тыс. руб., откуда имеем:
площади трапеции ABCD.
и 
Следовательно,
Запишем площадь треугольника AOB двумя способами:
Что и требовалось доказать.
и 
Обозначим P — точку пересечения отрезков KM и LN, и проведем BH — высоту трапеции. Тогда треугольники ABH и OKP подобны по двум углам, откуда 
Значит,
является вертикальная ось. Графиком уравнения 
прямая, проходящая через точки 
и 
полученное уравнение не имеет решений, при 
оно равносильно уравнению
нечётная, ее производная 
положительна при всех 
а потому функция возрастает на 
и на 
График имеет асимптоты 
(выделены оранжевым пунктиром) разбивают плоскость на восемь областей, в каждой из которых знак левой части исходного неравенства остается неизменным. Подставляя координаты какой-либо точки из каждой области, проверяем выполнение исходного неравенства. Области, в которых неравенство выполняется, выделены на рисунке светло-зеленым цветом. 
и 
(выделены синим). Значения x, которые не превосходят по модулю 1, находятся внутри полосы, ограниченной этими прямыми, включая сами прямые. Тогда исходное неравенство выполняется для любых x, не превосходящих по модулю 1, при 
и 
где a1 — меньший корень уравнения 
а a2 — корень уравнения 
Ясно, что 
Найдём a1:
и 
а 
и 
и 
Найдите количество возможных значений числа a.
Значит, 
и 
что невозможно.
откуда 
При этом 
Значит, в качестве d можно взять любое число от 1 до 348. При таких d получаем:
или даже 
d. Итого их 348.