PDF-версии: 1. Тип 13 № 636515 
Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа, Логарифмические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус
Методы алгебры: Формулы приведения
Уравнения. Тригонометрия и логарифмы
i
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Учтем нечетность синуса, применим формулу приведения, получим:
Правая часть на ОДЗ логарифма равна 2. Получаем:
Условиям 
удовлетворяют только числа 
б) Длина отрезка 
равна 2π. Расстояние между членами серии 
также равно 2π, причем никакое из них не совпадает с концами отрезка. Следовательно, в отрезок попадает лишь одно число из найденной серии. Это число 
Ответ: 
б) 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: б)
б) 636515
б) Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа, Логарифмические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус
Методы алгебры: Формулы приведения
Имеем:
Теперь применим формулу для вычисления расстояния от точки до плоскости:
-го месяца кредит должен быть полностью погашен. 
тыс. руб.
тыс. руб.
получаем:
если известно, что AC = 7, BC = 24 и AB = 25.
где p — полупериметр треугольника ABC. 
или 
Но тогда 
что и требовалось доказать.
тогда угол ACB равен 90°, из чего следует, что четырехугольник CLO1M — квадрат. Таким образом, 
Тогда по тереме Пифагора
имеет ровно два корня на 
тогда
пересекающих ось ординат в точке 
В силу введённых обозначений справедливо равенство 
задающее в системе координат sOt единичную окружность с центром в точке О.
следует, что 
Поэтому искомыми являются те значения параметра, при которых прямые, задаваемые уравнением (⁎), имеют с единичной окружностью (⁎⁎) две точки пересечения, на дуге, для которой 
(см. рис., выделено оранжевым). Таким образом, исходная задача свелась к отысканию таких значений параметра, для которых 
(выделено зелёным) координаты точки 
и прямой 
получаем:
получаем:
где c — длина гипотенузы, b — длина одного из катетов. Последняя цифра десятичной записи периметра этого треугольника равна 6. Чему равны последние цифры десятичной записи длин сторон этого треугольника?
то 
Тогда 
то есть 
Найдем другой катет: 
то есть 
Числа 
и 
имеют одинаковую четность и 
Раскладывая всеми возможными способами число 144 на два четных множителя (на два нечетных разложить нельзя) получаем:
то 
и 
тогда 
и 
то 
и 
тогда 
и 
то 
и 
тогда 
и 
то 
и 
тогда 
и 
и 
Это рациональные числа (треугольники, на которые высота делит данный треугольник, подобны исходному и имеют по две целых стороны), значит, и целые, поскольку корень из целого числа либо целый, либо иррациональный. Поэтому h является катетом двух прямоугольных треугольников с целыми сторонами, подобных друг другу. По аналогии с пунктом а) выясним, когда это возможно. Будем представлять числа 
в виде разности квадратов, то есть виде произведений вида 
— 
или h — простое число, то h2 имеет не более одного такого разложения и подходить не может. Тогда
единственный вариант;
единственный вариант;
что дает треугольники 15, 8, 17 и 6, 8, 10, неподобные друг другу;
что дает треугольники 40, 9, 41 и 12, 9, 15, неподобные друг другу;
единственный вариант.
заканчивается на 6 только если a заканчивается на 2 или на 7. Но если a четно, то 
— 
либо на 4 и 5, либо на 9 и 0. Первый вариант возможен, например, при сторонах 7, 24, 25. На 9 число bзаканчиваться не может, поскольку 