PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
B равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC на стороне BC отмечена точка K так, что KC = 3. Площадь треугольника ABC равна 14, а длина стороны AB равна 7. Найдите площадь треугольника ABK.
В цилиндрической банке находится сок. Этот сок поровну разливают в 40 одинаковых цилиндрических стаканов, диаметр основания каждого из которых в 4 раза меньше диаметра основания банки. В результате уровень сока в каждом из стаканов достигает 8 см. На какой высоте находился уровень сока в банке? Ответ дайте в сантиметрах.
В сборнике билетов по физике имеется некоторое количество экзаменационных билетов. В трёх из них встречается вопрос по теме «Механические колебания». Известно, что с вероятностью 0,95 в случайно выбранном билете не окажется вопроса по теме «Механические колебания». Сколько всего билетов в сборнике?
Стрелок стреляет по одному разу по каждой из пяти одинаковых мишеней. Вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,8. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно четыре мишени» больше вероятности события «стрелок поразит ровно три мишени»?
Решите уравнение 
Найдите значение выражения 
На рисунке изображён график функции 
На оси абсцисcе отмечено восемь точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8.
Найдите количество отмеченных точек, для которых верно неравенство 
Тело массой 3 кг достигло высоты 1,5 м. Полная механическая энергия тела (в Дж) определяется формулой 
где g = 9,8 м/с2 — ускорение свободного падения, m — масса тела (в кг), υ — скорость тела (в м/с), h — высота (в м). Найдите скорость тела (в м/с), если полная механическая энергия тела равна 68,1 Дж.
Из двух городов, расстояние между которыми 720 км, по параллельным путям отправляются навстречу друг другу два поезда и встречаются на середине пути. Второй поезд вышел на 1 ч позже первого со скоростью, на 4 км/ч большей, чем скорость первого поезда. Найдите скорость второго поезда. Ответ дайте
На рисунке изображён график фуıкции вида
где a, b и c — целые числа. Найдите значение f(4).
Найдите наибольшее значение функции 
на отрезке 
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 отмечена точка E так, что 
точка T — середина ребра B1C1. Длины рёбер AD и A A1 равны
a) Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью ETD1 является равнобедренной трапецией.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью ETD1, если 
Решите неравенство 
По вкладу «А» банк в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на 20% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» увеличивает на 22% в конце каждого года из первых двух лет. Найдите наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада «А».
В прямоугольный треугольник ABC вписан квадрат KCMN так, что вершины K и M расположены на катетах AC и BC соответственно, a на гипотенузе AB — вершина N. Вершины квадрата TPQR расположены на сторонах треугольника ABC, причём вершины P и Q находятся на катетах AC и BC соответственно, а вершины R и T — на гипотенузе AB.
а) Докажите, что точка C и центры квадратов KCMN и TPQR лежат на одной прямой.
6) Найдите длину стороны квадрата TPQR, если AC = 5 и BC = 12.
Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
имеет хотя бы одно решение на промежутке [−1; 0).
Пусть {an} — последовательность натуральных чисел. Обозначим 
среднее арифметическое всех членов последовательности {an}, которые меньше некоторого числа C, которое больше наименьшего, но не больше наибольшего члена этой последовательности. Обозначим 
— 
а) Существует ли последовательность {an}, состоящая из трёх членов, для которой 
б) Существует ли последовательность {an}, состоящая из трёх членов, для которой 
и 
в) Известно, что среднее арифметическое всех членов последовательности {an}, равняется 84, 
и 
Какое наименышее число членов может быть в последовательности {an}?
Треугольники ABC и AKC имеют общую высоту, следовательно, отношение площадей равно отношению оснований, то есть 
Имеем:
Выразим объем сока, разлитого в 40 одинаковых цилиндрических стаканов с высотой 8 и диаметром в 4 раза меньше диаметра основания банки: 
и подставим выраженный раннее объем:
ч. Скорость второго поезда равна 
ч. Второй поезд вышел на 1 ч позже первого, тогда 
значит, 
и 
Тогда 
Если 
то 
Найдем наибольшее значение функции 
достигает наименьшего значения, равного 4, в точке 1. Эта точка принадлежит отрезку 
поэтому
то есть при 
принадлежит число 0. Следовательно, значение 
достигается.
При таких значениях переменной числитель должен быть равным нулю. Используя формулу 
получаем:
то в силу основного тригонометрического тождества 
поэтому соответствующие значения переменной являются посторонними корнями. Уравнение 
дает решения 
Тогда отрезок В1F — средняя линия треугольника КА1Е, а потому 
Проведем отрезок FG параллельно стороне A1B1, тогда треугольники GFE и TC1D равны по двум катетам, то есть 
а значит, трапеция EFTD1 равнобедренная.
тогда 
Cделаем замену 
получим:
Вклад «Б» выгоднее вклада «A», если
и 
тогда четырёхугольник POQC вписан в окружность. По тереме синусов 
следовательно, точка O лежит на биссектрисе угла ACB, то есть на прямой CN.
Треугольники APT, QBR и ABC подобны, значит,
и 
Найдем гипотенузу AB: 
Она непрерывная и возрастающая, 
поэтому на промежутке 
функция принимает все значения из полуинтервала 
Функция 
на промежутке [−1; 0) также непрерывна и возрастает, 
поэтому принимает все значения из полуинтервала [5; 7,5).
на промежутке [−1; 0) оба множителя в левой части неравенства (⁎) отрицательны, а при 
оба множителя положительны, поэтому при таких значениях параметра неравенство не выполняется. В то же время при каждом значении 
множитель 
будет обращаться в нуль в какой-то из точек промежутка [−1; 0) и неравенство будет выполнено. 
После увеличения чисел на 4 получаем последовательность 5, 81, 84, для которой 
(при увеличении каждого числа 
Тогда предыдущее уравнение дает 
Таким образом, всего чисел не меньше 