Ре­ше­ние. а)  Решим урав­не­ние, при­ме­нив к пра­вой части фор­му­лу

б)  Отберём корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку при по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти. По­лу­чим числа 0, и

Ответ: а) б) 0,

Ре­ше­ние. а) Пусть S  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых AR и BC. Тогда пря­мая LQ также про­хо­дит через точку S, так как лежит в плос­ко­сти ALR и C₁L  =  B₁L  =  15. Тре­уголь­ни­ки ADR и SCR по­доб­ны, сле­до­ва­тель­но,

от­ку­да Тре­уголь­ни­ки LC₁Q и SCQ также по­доб­ны, по­это­му

б)  Из п. а) сле­ду­ет, что CQ  =  24, CR  =  20 и

С дру­гой сто­ро­ны,

Сле­до­ва­тель­но,

Вы­чис­ляя пло­щадь тре­уголь­ни­ка QRS по фор­му­ле Ге­ро­на, на­хо­дим: Тогда

Ответ: б)

Ре­ше­ние. По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть сумма кре­ди­та равна S тыс. руб., а тогда через год долг ста­нет равен kS тыс. руб. или тыс. руб. При­рав­ня­ем эти зна­че­ния и вы­ра­зим S:

После воз­вра­та части долга, долг стал равен  тыс. руб., а еще через два года  тыс. руб. или 108 тыс. руб. При­рав­ня­ем эти зна­че­ния, под­ста­вим по­лу­чим урав­не­ние на k:

По усло­вию, тогда Зна­чит, от­ку­да по­лу­ча­ем

Ответ: 20%.

Ре­ше­ние. а) Точка N рав­но­уда­ле­на от пря­мых AC, BC, AB, тогда AN  — бис­сек­три­са внеш­не­го угла A. Ана­ло­гич­но AM  — бис­сек­три­са внеш­не­го угла A, из чего сле­ду­ет, что точки N, A, M лежат на одной пря­мой. Далее, пря­мые NB и BM вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны как бис­сек­три­сы смеж­ных углов. Пря­мые NC и CM также вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Сле­до­ва­тель­но, че­ты­рех­уголь­ник NBCM впи­сан в окруж­ность с диа­мет­ром NM, где углы NMB и NCB равны как впи­сан­ные. Зна­чит,

б)  Из пунк­та а) сле­ду­ет, что

Ана­ло­гич­но углы ANC и ACN равны. Сле­до­ва­тель­но, пря­мые MN и BC па­рал­лель­ны. От­сю­да CA  — ме­ди­а­на пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка NCM, зна­чит, Вы­со­та этого тре­уголь­ни­ка, про­ве­ден­ная из вер­ши­ны C, равна вы­со­те тре­уголь­ни­ка ABC, при­ведённой из вер­ши­ны A, то есть По­это­му из про­пор­ции по­лу­ча­ем

Тогда а по­то­му

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Пусть Для того, чтобы урав­не­ние имело ровно че­ты­ре ре­ше­ния не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы мень­ший из двух раз­лич­ных кор­ней квад­рат­но­го урав­не­ния был боль­ше наи­мень­ше­го зна­че­ния квад­ра­тич­ной функ­ции Тогда каж­до­му из двух раз­лич­ных зна­че­ний t, будет со­от­вет­ство­вать два раз­лич­ных зна­че­ния x.

Решим урав­не­ние

При корни сов­па­да­ют, что не под­хо­дит. При про­чих a мень­ший ко­рень урав­не­ния равен

Пре­об­ра­зу­ем вы­ра­же­ние, за­да­ю­щее функ­цию

Зна­че­ние до­сти­га­ет­ся при а по­то­му яв­ля­ет­ся наи­мень­шим зна­че­ни­ем функ­ции

Те­перь при решим не­ра­вен­ство:

Ответ:

Ре­ше­ние. а) Обо­зна­чим сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка за a, a + d, a + 2d, где Ясно, что ги­по­те­ну­за  — боль­шая из них. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра по­лу­чим от­ку­да

Зна­чит, или (что не­воз­мож­но). Тогда сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка равны 3d, 4d, 5d, то есть под­хо­дят все тре­уголь­ни­ки, по­доб­ные тре­уголь­ни­ку со сто­ро­на­ми 3, 4, 5.

б)  Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ни­ке ABC с пря­мым углом C. Если этот тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный, то а тогда тре­уголь­ник не це­ло­чис­лен­ный. Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник раз­но­сто­рон­ний, по­это­му в нем про­ве­ден­ные к ги­по­те­ну­зе вы­со­та, бис­сек­три­са и ме­ди­а­на раз­лич­ны.

Пусть от­ре­зок CH  — вы­со­та, CL  — бис­сек­три­са, CM  — ме­ди­а­на. Из курса гео­мет­рии из­вест­но, что в не­рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке а по­то­му вы­со­та, бис­сек­три­са и ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию тогда и толь­ко тогда, когда

Кроме того из­вест­но, что в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке а по­то­му

Но по­лу­чен­ное ра­вен­ство не­воз­мож­но для на­ту­раль­ных зна­че­ний букв, по­сколь­ку слева ир­ра­ци­о­наль­ное число, а спра­ва  — ра­ци­о­наль­ное.

в)  Пусть сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка равны a, b (b ⩾ a), Тогда по усло­вию от­ку­да

Воз­ве­дем по­след­нее ра­вен­ство в квад­рат и раз­ло­жим на мно­жи­те­ли:

По пред­по­ло­же­нию, b ⩾ a, а зна­чит, вто­рой со­мно­жи­тель не мень­ше пер­во­го. Тогда либо эти мно­жи­те­ли равны 1 и 8, либо 2 и 4. В пер­вом слу­чае тогда во вто­ром слу­чае от­ку­да

Ответ: а)  тре­уголь­ни­ки, по­доб­ные тре­уголь­ни­ку со сто­ро­на­ми 3, 4, 5; б)  нет; в)  5, 12, 13 и 6, 8, 10.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние пунк­тов б) и в).

б)  Пусть в тре­уголь­ни­ке ABC имеем и Сразу от­ме­тим, что если то и тре­уголь­ник не це­ло­чис­лен­ный.

Пусть далее CH  — вы­со­та, CL  — бис­сек­три­са, CM  — ме­ди­а­на. По­сколь­ку ме­ди­а­на равна по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы, тре­уголь­ник AMC рав­но­бед­рен­ный и Кроме того,

Сле­до­ва­тель­но,

то есть в тре­уголь­ни­ке MCH от­ре­зок CL также яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой.

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки CHM и CHL. Обо­зна­чая

за β и длину CH за h, по­лу­чим

До­пу­стим, что ука­зан­ные три от­рез­ка об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию. Тогда

Обо­зна­чая по­лу­чим

Если пер­вая скоб­ка равна нулю, то что не­воз­мож­но. Если вто­рая скоб­ка равна нулю, то но одно из этих чисел боль­ше еди­ни­цы, а вто­рое от­ри­ца­тель­но. Такой слу­чай тоже не­воз­мо­жен.

в)  Пусть сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка равны a, b (b ⩾ a), тогда по усло­вию то есть

от­ку­да Те­перь раз­бе­рем ва­ри­ан­ты.

1.  Если a  =  1, то или что не­воз­мож­но.

2.  Если a  =  2, то или что могло бы слу­чить­ся лишь при и но тогда   — не­воз­мож­но. Сразу от­ме­тим, что ана­ло­гич­ная си­ту­а­ция будет воз­ни­кать все­гда, когда c − b и c + b по­лу­ча­ют­ся чис­ла­ми раз­ной чет­но­сти.

3.  Если a  =  3, то или что могло бы слу­чить­ся лишь при и но тогда и   — урав­не­ние не вы­пол­ня­ет­ся.

4.  Если a  =  4, то или что могло бы слу­чить­ся лишь при и но тогда или при но тогда   — не­воз­мож­но.

5.  Если a  =  5, то или что могло бы слу­чить­ся лишь при и тогда и   — урав­не­ние вы­пол­ня­ет­ся.

6.  Если a  =  6, то или что могло бы слу­чить­ся лишь при таких ва­ри­ан­тах и тогда и a  =  8  — урав­не­ние вы­пол­ня­ет­ся. Зна­чит, или или во всех этих слу­ча­ях c не­це­лое.

7.  Если a  =  7, то или что могло бы слу­чить­ся лишь при и но тогда и   — урав­не­ние не вы­пол­ня­ет­ся.