Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что урав­не­ние имеет смысл толь­ко при и Пре­об­ра­зу­ем его при этом усло­вии:

б)  Отберём корни при по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти. Под­хо­дит

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Точка O  — ос­но­ва­ние вы­со­ты пи­ра­ми­ды, за­ме­тим, что пря­мые CD и SO пер­пен­ди­ку­ляр­ны, пря­мые CD и MN пер­пен­ди­ку­ляр­ны, сле­до­ва­тель­но, пря­мая CD пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти SMN, а зна­чит, плос­ко­сти SMN и SCD пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Таким об­ра­зом, пря­мая NT лежит в плос­ко­сти SMN, а точка T лежит на пря­мой SM. Имеем:

Таким об­ра­зом, тре­уголь­ник SMN  — рав­но­сто­рон­ний, а T  — се­ре­ди­на SM.

б)  Из п. а) сле­ду­ет, что пря­мая NT пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти SCD. Пря­мая SC лежит в плос­ко­сти SCD, зна­чит, рас­сто­я­ние между пря­мы­ми NT и SC равно рас­сто­я­нию от точки  T до пря­мой  SC. Из точки  T на пря­мую  SC опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр TH и найдём его. Тре­уголь­ни­ки STH и SCM по­доб­ны, сле­до­ва­тель­но,

от­ку­да

Ответ: б)  1.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство, ис­поль­зуя свой­ства ло­га­риф­мов, метод ра­ци­о­на­ли­за­ции и метод ин­тер­ва­лов:

Ответ:

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим слу­чай вло­же­ния денег толь­ко в пер­вый про­ект, в этом слу­чае при этом По усло­вию если Зна­чит, Тогда

При таком a най­дет­ся зна­че­ние b:

Функ­ция имеет вид

Рас­смот­рим вло­же­ние де­неж­ных средств толь­ко во вто­рой про­ект. Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем: при этом По усло­вию если Зна­чит, Тогда

При по­лу­чен­ном зна­че­нии a

Функ­ция имеет вид

Рас­смот­рим вло­же­ние в оба про­ек­та суммы 290 тыс. руб. Пусть в пер­вый про­ект было вло­же­но x тыс. руб, тогда вто­рой про­ект вло­же­но  тыс. руб. Со­ста­вим сумму ранее най­ден­ных функ­ций для этих зна­че­ний ар­гу­мен­тов и най­дем ее наи­боль­шее зна­че­ние. Имеем:

По­лу­чен­ная функ­ция квад­ра­тич­ная с от­ри­ца­тель­ным стар­шим ко­эф­фи­ци­ен­том, она до­сти­га­ет сво­е­го наи­боль­ше­го зна­че­ния в точке мак­си­му­ма. Най­дем про­из­вод­ную:

Решим урав­не­ние

Итак, в пер­вый про­ект сле­ду­ет вло­жить 110 тыс. руб., во вто­рой  — 180 тыс. руб. При этом мак­си­маль­ная общая при­быль со­ста­вит

Ответ: 110 тыс. руб. в пер­вый про­ект, 180 тыс. руб. во вто­рой про­ект; мак­си­маль­ная общая при­быль 342 тыс. руб.

Ре­ше­ние. a)  Пусть окруж­но­сти, опи­сан­ные около тре­уголь­ни­ков A₁BC₁ и A₁B₁C пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E. Тогда От­сю­да

Зна­чит, че­ты­рех­уголь­ник впи­сан­ный. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пусть D, G, F  — цен­тры трех окруж­но­стей из усло­вия за­да­чи. За­ме­тим, что все эти окруж­но­сти равны, так как они опи­са­ны около рав­ных тре­уголь­ни­ков. Кроме того, из рав­но­бед­рен­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC сле­ду­ет, что A₁E  — се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к BC, от­ку­да по­лу­ча­ет­ся, что С₁E и B₁E  — се­ре­дин­ные пер­пен­ди­ку­ля­ры к сто­ро­нам AB и AC. Тогда точка E  — центр окруж­но­сти опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC и од­но­вре­мен­но центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около DFG. Таким об­ра­зом, тре­уголь­ник DFG по­до­бен тре­уголь­ни­ку ABC c ко­эф­фи­ци­ен­том Най­дем ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC, по фор­му­ле S  =  pr. Имеем: p  =  18, от­сю­да Зна­чит, ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в DFG равен

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим не­ра­вен­ство:

За­ме­тим, что в скоб­ках на­хо­дят­ся суммы двух вза­им­но об­рат­ных по­ло­жи­тель­ных чисел, каж­дая из ко­то­рых не мень­ше двух, по­это­му пер­вое про­из­ве­де­ние не мень­ше 3 · 2  =  6, а вторе не мень­ше 8 · 2  =  16. Сле­до­ва­тель­но, левая часть по­лу­чен­но­го не­ра­вен­ства не мень­ше 22. С дру­гой сто­ро­ны, по усло­вию она не боль­ше 22. Таким об­ра­зом, не­ра­вен­ство об­ра­ща­ет­ся в ра­вен­ство

а зна­чит, каж­дая из сумм вза­им­но об­рат­ных чисел равна 2. Это воз­мож­но, толь­ко если каж­дое из сла­га­е­мых равно 1, от­ку­да по­лу­ча­ем:

Под­ста­вив в урав­не­ние ис­ход­ной си­сте­мы по­лу­чим урав­не­ние с одной пе­ре­мен­ной

За­ме­тим, что   — ко­рень по­лу­чен­но­го урав­не­ния. При этом левая часть урав­не­ния пред­став­ля­ет собой убы­ва­ю­щую функ­цию, а пра­вая  — воз­рас­та­ю­щую, зна­чит, урав­не­ние имеет не более од­но­го корня, а по­то­му дру­гих кор­ней нет.

Таким об­ра­зом, ре­ше­ни­ем ис­ход­ной си­сте­мы яв­ля­ет­ся толь­ко одна пара чисел и это ре­ше­ние до­сти­га­ет­ся при При дру­гих зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра ис­ход­ная си­сте­ма не имеет ре­ше­ний.

Ответ: −2.

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что по­это­му

Зна­чит, ра­вен­ство не­воз­мож­но.

б)  Пусть n  =  24. Тогда

в)  От­ме­тим, что при целом a и любом x вы­пол­не­но ра­вен­ство За­пи­шем n в виде где Тогда

По усло­вию,

от­ку­да

То есть при любом t най­дет­ся ровно одно под­хо­дя­щее k, по­сколь­ку

Зна­чит, всего под­хо­дя­щих n ровно 306  — по од­но­му с каж­дым остат­ком от де­ле­ния на 306.

Ответ: а)  нет; б)  да; в)  306.