Ре­ше­ние. а)  При усло­вии ис­ход­ное урав­не­ние эк­ви­ва­лент­но урав­не­нию:

Усло­вию удо­вле­тво­ря­ет толь­ко

б)  Отберём корни при по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти. Под­хо­дит

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что так как точки S и Q сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, то SO  =  OQ, где O  — центр ос­но­ва­ния. Сле­до­ва­тель­но, SB  =  QB  =  QD  =  SD и SBQD  — ромб, зна­чит, пря­мые SB и QD па­рал­лель­ны, кроме того пря­мые AD и BC также па­рал­лель­ны. Тогда плос­ко­сти SBC и QDA со­дер­жат по­пар­но па­рал­лель­ные пря­мые и, сле­до­ва­тель­но, па­рал­лель­ны.

б)  Пусть M и N  — се­ре­ди­ны рёбер AD и BC со­от­вет­ствен­но. Ана­ло­гич­но п. а) SMQN  — ромб. За­ме­тим, что пря­мые AD и MN пер­пен­ди­ку­ляр­ны, пря­мые AD и SQ пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Cле­до­ва­тель­но, пря­мая AD пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти SQM, а, зна­чит, NH  — вы­со­та ромба SMQN, пер­пен­ди­ку­ляр­ная AD. Кроме того пря­мые NH и MQ пер­пен­ди­ку­ляр­ны, и, зна­чит, пря­мая NH пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти QDA и яв­ля­ет­ся ис­ко­мым рас­сто­я­ни­ем. Имеем:

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство:

Ответ:

Ре­ше­ние. Кре­ди­тор каж­дый ян­варь на­чис­ля­ет r про­цен­тов, то есть умно­жа­ет оста­ток долга на Тогда пер­вые три пла­те­жа со­став­ля­ли млн руб. Пусть, далее, чет­вер­тый и пятый пла­те­жи со­став­ля­ли N млн руб. Тогда от­ку­да По усло­вию, общие вы­пла­ты со­ста­ви­ли 305 млн руб., от­ку­да имеем:

Тогда

Ответ: 10.

Ре­ше­ние. а)  Рас­смот­рим тре­уголь­ник EMA. Из усло­вия за­да­чи сле­ду­ет, что AL и EK  — его вы­со­ты. Тогда из суммы углов че­ты­рех­уголь­ни­ка LMKO угол LOK равен А угол  EOA такой же. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  За­ме­тим, что углы MEK и MAL равны 30°. Тогда От­сю­да тре­уголь­ни­ки EMA и KML по­доб­ны по двум сто­ро­нам и углу между ними, при­чем ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен 2. За­ме­тим еще, что MO  — диа­метр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка KML. По­это­му, из тео­ре­мы си­ну­сов,

Оста­лось найти EA. За­ме­тим, что

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов по­лу­ча­ем:

Зна­чит, Из преды­ду­ще­го по­лу­ча­ем что

Ответ: б)

Ре­ше­ние. При по­ло­жи­тель­ных и от­лич­ных от еди­ни­цы зна­че­ни­ях p пра­вая часть урав­не­ния равна 1. По­это­му урав­не­ние рав­но­силь­но си­сте­мам:

Изоб­ра­зим ре­ше­ние по­лу­чен­ной си­сте­мы в си­сте­ме ко­ор­ди­нат xOa. Ре­ше­ни­ем яв­ля­ют­ся от­рез­ки пря­мых и (вы­де­ле­ны синим), рас­по­ло­жен­ные внут­ри окруж­но­сти спра­ва от пря­мой (вы­де­ле­но зелёным), за ис­клю­че­ни­ем точек, при­над­ле­жа­щих окруж­но­сти (вы­де­ле­но крас­ным).

Найдём ко­ор­ди­на­ты точек A, B, C, D, E, F, G и ко­ор­ди­на­ту точки пе­ре­се­че­ния пря­мых и По­лу­ча­ем: Пря­мые и пе­ре­се­ка­ют­ся в точке с ко­ор­ди­на­та­ми

По гра­фи­ку опре­де­ля­ем, что си­сте­ма имеет един­ствен­ный ко­рень при и

(За­ме­тим до­пол­ни­тель­но, что при и при си­сте­ма ре­ше­ний не имеет, в осталь­ных слу­ча­ях си­сте­ма имеет два ре­ше­ния.)

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть в пер­вом от­де­ле x то­ва­ров сум­мар­ной ценой 90x, во вто­ром y то­ва­ров сум­мар­ной ценой 120y и в тре­тьем то­ва­ров сум­мар­ной ценой Сум­мар­ная цена всех то­ва­ров равна руб­лей. По­лу­ча­ем урав­не­ние:

а)  Если x  =  y, то урав­не­ние при­мет вид что не­воз­мож­но, так как тогда в тре­тьем от­де­ле будет от­ри­ца­тель­ное ко­ли­че­ство то­ва­ров.

б)  Из урав­не­ния сле­ду­ет, что Если к тому же то

и y  — не­це­лое.

в)  Ясно, что наи­боль­шая цена будет во вто­ром от­де­ле. Далее, если в нем есть как ми­ни­мум два то­ва­ра ценой боль­ше 101 рубля, то можно по­ни­зить цену де­ше­во­го до 101 руб. и под­нять на столь­ко же цену до­ро­го­го. Про­дол­жая эти дей­ствия, мы толь­ко уве­ли­чим цену са­мо­го до­ро­го­го то­ва­ра. Его ито­го­вая цена будет равна по­это­му вы­год­но сде­лать y как можно боль­ше. С дру­гой сто­ро­ны,

Зна­чит, оп­ти­маль­ным ва­ри­ан­том будет взять 133 до­ро­гих то­ва­ра, из них 132 стоят по 101 рублю, а по­след­ний стоит 19 · 133 + 101  =  2628 руб., 66 де­ше­вых (на­при­мер, все по 90 руб.) и один товар за 100 руб. При этом все усло­вия будут вы­пол­не­ны.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  2628.