PDF-версии: 1. Тип 13 № 624294 
Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители
Методы алгебры: Домножение на знаменатель с учётом ОДЗ, Формулы двойного угла
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
Уравнения. Тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ
i
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Заметим, что
Преобразуем исходное уравнение с учётом этого условия:
По ограничениям подходит только 
б) Отберём корни при помощи единичной окружности. Подходят 
Ответ: а) 
б)
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 624294
а) б)
б) Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители
Методы алгебры: Домножение на знаменатель с учётом ОДЗ, Формулы двойного угла
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
откуда
Далее находим:
Следовательно, 
Составим уравнение плоскости APQ в виде 
или при 
неравенство является верным. Рассмотрим два случая.
или при 
получаем:
или при 
получаем:
тыс.руб., а во второй месяц — не менее 
тыс. руб.
Отсюда CG = 4. Заметим теперь, что EF — средняя линия треугольника ACG, значит, 
Что и требовалось доказать.
Отсюда 
выполняется условие задачи, то и для пары чисел 
условие будет выполнено, значит, чтобы решение было единственным, необходимо, чтобы выполнялось условие 
Найдём значения параметра a, при которых ровно одно решение уравнения 
удовлетворяет неравенству 
уравнение (⁎) принимает вид 
другие решения системы. Решим систему при 
рассмотрим квадратичную функцию 
Заметим, что 
имеет два корня, то они по модулю либо оба больше 1, либо оба меньше 1. Значит, условие задачи не может быть выполнено. Если уравнение 
единственным корнем уравнения (⁎) является
не выполняется.
единственным корнем уравнения (⁎) является
Решим систему при 
то левая часть второго уравнения полученной системы положительна, значит, второе уравнение и вся система не имеют решений. Тогда при 
и условие задачи выполнено.
где y — число из n − 2 единиц. Первое слагаемое кратно 4, а второе дает остаток 3. Но квадрат не может давать такого остатка. В самом деле, пусть y2 дает остаток 3 при делении на 4. Очевидно, y нечетно. Тогда 
— произведение двух четных чисел, поэтому кратно 4, а −2 не кратно 4. Итак, 
не кратно 4.
поэтому можно удалять из начала числа группы по 6 единиц — они все равно не окажут влияния на остаток от деления на 7. При этом
