Ре­ше­ние. а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние при усло­вии :

Усло­вию удо­вле­тво­ря­ют толь­ко

б)  Отберём корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку при по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти. Под­хо­дят 0.

Ответ: а) б) 0.

Ре­ше­ние. а)  Пусть L  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых KL и BC. Про­ведём пря­мую MN па­рал­лель­но пря­мой BC. За­ме­тим, что тре­уголь­ни­ки SNM и SBC по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия сле­до­ва­тель­но,

Тре­уголь­ни­ки MNK и LBK также по­доб­ны с зна­чит,

сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник CLM  — пря­мо­уголь­ный с пря­мым углом CML.

б)  Пусть SO  — вы­со­та пи­ра­ми­ды, H  — про­ек­ция точки M на пря­мую AC, а LH  — про­ек­ция от­рез­ка LM на плос­кость ос­но­ва­ния. Тогда угол MLH  — ис­ко­мый. Далее имеем:

Из п. а) тре­уголь­ник CLM  — пря­мо­уголь­ный, сле­до­ва­тель­но,

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим че­ты­ре слу­чая.

1 слу­чай. При по­лу­ча­ем:

По­лу­чен­ная си­сте­ма ре­ше­ний не имеет, по­сколь­ку при левая часть пер­во­го не­ра­вен­ства мень­ше 3, а пра­вая боль­ше 3.

2 слу­чай. При по­лу­ча­ем:

3 слу­чай. При по­лу­ча­ем:

4 слу­чай. При по­лу­ча­ем:

По­лу­чен­ная си­сте­ма ре­ше­ний не имеет, по­сколь­ку при левая часть пер­во­го не­ра­вен­ства мень­ше 1.

Объ­еди­няя ре­зуль­та­ты, на­хо­дим ответ.

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть каж­дый месяц с 1‐⁠го по n-⁠й долг умень­ша­ет­ся на x тысяч руб­лей. Тогда еже­ме­сяч­ная вы­пла­та со­ста­вит x тысяч руб­лей плюс 2% от суммы те­ку­ще­го долга. За­пол­ним таб­ли­цу в со­от­вет­ствии с усло­ви­ем за­да­чи.

Номер ме­ся­ца	Долг после на­чис­ле­ния про­цен­тов, тыс. руб.	Вы­пла­та, тыс. руб.	Долг до на­чис­ле­ния про­цен­тов, тыс. руб.
1
2
...	...	...	...
n − 1
n
n + 1			0

Из ра­вен­ства по­лу­ча­ем, что Найдём сумму вы­плат, вос­поль­зо­вав­шись фор­му­лой суммы ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии:

По усло­вию эта сумма равна 1381,2 тыс. руб. Зна­чит,

Ответ: 18.

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что от­ре­зок KL  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABC, от­ре­зок LM  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка  ВСD. От­сю­да сле­ду­ет, что от­рез­ки KL и MN равны и па­рал­лель­ны. От­сю­да KLMN  — па­рал­ле­ло­грамм, от­ре­зок  MN  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABD, по­это­му пря­мые MN и AB па­рал­лель­ны, пря­мые AB и CD пер­пен­ди­ку­ляр­ны, пря­мые LM и CD па­рал­лель­ны, то есть пря­мая  LM пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой  MN. Сле­до­ва­тель­но, че­ты­рех­уголь­ник KLMN  — пря­мо­уголь­ник, по­это­му его диа­го­на­ли равны. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пусть бо­ко­вые сто­ро­ны тра­пе­ции пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E. По свой­ству ме­ди­а­ны пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка От­сю­да

Таким об­ра­зом, пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка KLMN равна 60, а его диа­го­наль равна 13. Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра по­лу­ча­ем, что сто­ро­ны пря­мо­уголь­ни­ка равны 5 и 12. Зна­чит, бо­ко­вые сто­ро­ны тра­пе­ции равны 10 и 24. Вы­со­та тра­пе­ции равна вы­со­те пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка с ка­те­та­ми 10 и 24, про­ве­ден­ной к ги­по­те­ну­зе, рав­ной Таким об­ра­зом, вы­со­та тра­пе­ции равна

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Об­ласть опре­де­ле­ния дан­ной функ­ции задаётся не­ра­вен­ством

Изоб­ра­зим в си­сте­ме ко­ор­ди­нат xOa мно­же­ство точек, удо­вле­тво­ря­ю­щих по­лу­чен­ной си­сте­ме. Из по­стро­ен­но­го ри­сун­ка по­лу­ча­ем:

— при си­сте­ма не имеет ре­ше­ний;

— при ре­ше­ни­ем си­сте­мы яв­ля­ет­ся ин­тер­вал зна­чит, в об­ласть опре­де­ле­ния ис­ход­ной функ­ции не вхо­дят целые числа;

— при си­сте­ма не имеет ре­ше­ний;

— при ре­ше­ни­ем си­сте­мы яв­ля­ет­ся ин­тер­вал по­это­му в об­ласть опре­де­ле­ния ис­ход­ной функ­ции вхо­дит не более од­но­го це­ло­го числа;

— при си­сте­ма не имеет ре­ше­ний;

— при ре­ше­ни­ем си­сте­мы яв­ля­ет­ся ин­тер­вал

Таким об­ра­зом, усло­вие за­да­чи будет вы­пол­не­но тогда и толь­ко тогда, когда об­ласть опре­де­ле­ния ис­ход­ной функ­ции из целых чисел со­дер­жит толь­ко числа 4, 5, 6 и 7. Это вы­пол­ня­ет­ся при усло­вии

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Да. По­сколь­ку всего было 2019 об­ли­ва­ний, най­дет­ся че­ло­век, ко­то­ро­го об­ли­ли не более од­но­го раза. Вы­бе­рем его в груп­пу, а того, кого облил он, и (если такой есть) того, кто облил его, их вы­го­ним из ла­ге­ря. Те­перь оста­лось не менее 2016 че­ло­век, при­чем об­ли­ва­ний среди них было не боль­ше, чем оста­лось людей. По­это­му опять най­дет­ся че­ло­век, ко­то­ро­го об­ли­ли не более од­но­го раза. Вы­бе­рем его в груп­пу, а того, кого облил он, и (если такой есть) того, кто облил его, вы­го­ним из ла­ге­ря. Про­дол­жая про­цесс, по­лу­чим в итоге груп­пу, в ко­то­рой будет не менее чем ре­бен­ка. Из них можно оста­вить 670 любых.

б)  Нет. Разо­бьем всех детей на трой­ки, и пусть в каж­дой трой­ке пер­вый обо­льет вто­ро­го, вто­рой  — тре­тье­го, а тре­тий  — пер­во­го. Тогда из каж­дой трой­ки можно вы­брать не более од­но­го ре­бен­ка, а всего не более 673.

в)  Как видно из ре­ше­ния пунк­тов а) и б), вы­брать 673 ре­бен­ка можно все­гда, а боль­шее ко­ли­че­ство  — не все­гда. По­это­му ответ  — 673.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  673.