Ре­ше­ние.

а)  За­ме­тим, что

Далее по­лу­ча­ем:

б)  Отберём корни при по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти (см. рис.). Под­хо­дят числа

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть се­че­ние MRS пер­пен­ди­ку­ляр­но об­ра­зу­ю­щей MK, при этом KL  — диа­метр. Пря­мая KM пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти MRS, по­это­му пря­мая KM пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой  RS, и, по тео­ре­ме о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах, пря­мая  KL пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой  RS. Назовём N точку их пе­ре­се­че­ния. За­ме­тим, что угол  KMO равен 60°, угол MKO равен 30°, тогда KO  =  9, ON  =  3, Таким об­ра­зом, в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке MRS вы­со­та сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник ту­по­уголь­ный.

б)  Из цен­тра ос­но­ва­ния O опу­стим на MN пер­пен­ди­ку­ляр OH. За­ме­тим, что OH лежит в плос­ко­сти  KMN. Из п. а сле­ду­ет, что пря­мая  RS пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти  KMN, сле­до­ва­тель­но, пря­мая  OH пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой  RS. Таким об­ра­зом, OH  — ис­ко­мое рас­сто­я­ние. Имеем:

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Не­ра­вен­ство опре­де­ле­но при то есть при по­ло­жи­тель­ных х, от­лич­ных от 1, и от На об­ла­сти опре­де­ле­ния можно ис­поль­зо­вать фор­му­лу что поз­во­ля­ет из­ба­вить­ся от зна­ме­на­те­лей и за­пи­сать не­ра­вен­ство в виде

Далее при­ме­ним фор­му­лу если в этой фор­му­ле один из мно­жи­те­лей b или с  — по­ло­жи­тель­ное число, при­ме­не­ние фор­му­лы до­пу­сти­мо на ОДЗ (если b и с за­ви­сят от пе­ре­мен­ной, при­ме­не­ние фор­му­лы может при­ве­сти к по­те­ре кор­ней). По­лу­ча­ем:

Пусть тогда

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

Оста­лось опре­де­лить, какие из най­ден­ных ре­ше­ний лежат в ОДЗ. За­ме­тим, что и тогда

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть пер­во­на­чаль­ная сумма вкла­да каж­до­го вклад­чи­ка равна К у. е. После че­ты­рех лет хра­не­ния в банке на вкла­де у Бори будет 1,1⁴ у. е. К концу пер­вых двух лет хра­не­ния вкла­да Ромы сумма вкла­да стала 1,15² K у. е., а к концу 4 лет  —  у. е.

Обо­зна­чим через m зна­че­ние вы­ра­же­ния Тогда по усло­вию за­да­чи Решим это не­ра­вен­ство от­но­си­тель­но m:

то есть

По­сколь­ку по­лу­ча­ем:

От­сю­да наи­боль­шее воз­мож­ное целое зна­че­ние ис­ко­мой про­цент­ной став­ки равно 8.

Ответ: 8.

За­ме­ча­ние.

Чтобы найти ре­ше­ние за­да­чи, нам при­ш­лось вы­чис­лить квад­рат­ный ко­рень из ше­сти­знач­но­го числа с точ­но­стью до ты­сяч­ных. Для этого можно ис­поль­зо­вать ал­го­ритм вы­чис­ле­ния корня без каль­ку­ля­то­ра (не­ко­то­рое время он пре­по­да­вал­ся в со­вест­кой школе). Од­на­ко прак­ти­че­ская ре­а­ли­за­ция этого ал­го­рит­ма в дан­ной за­да­че гро­мозд­ка.

Ре­ше­ние. а)  До­стро­им по­лу­окруж­ность до окруж­но­сти. Пусть пря­мая PT вто­рой раз пе­ре­се­ка­ет эту окруж­ность в точке B. По тео­ре­ме о про­из­ве­де­нии се­ку­щей на её внеш­нюю часть по­лу­ча­ем, что Тре­уголь­ни­ки PHL и PKS по­доб­ны по двум углам, по­это­му от­ку­да Таким об­ра­зом, то есть От­сю­да PH  =  3,5.

б)  По тео­ре­ме си­ну­сов диа­метр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка PKM, равен Диа­метр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка PNL,  — это от­ре­зок PH. По­это­му ис­ко­мый ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен C дру­гой сто­ро­ны, ис­ко­мый ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен По­лу­ча­ем ра­вен­ство: От­сю­да Тогда

Зна­чит, ис­ко­мый ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен

Ответ:

Ре­ше­ние. Изоб­ра­зим в си­сте­ме ко­ор­ди­нат xOa мно­же­ство точек, ко­ор­ди­на­ты ко­то­рых яв­ля­ют­ся ре­ше­ни­ем си­сте­мы. Это мно­же­ство точек од­но­вре­мен­но ле­жа­щих не выше пря­мой не выше пря­мой и не ниже па­ра­бо­лы

Оста­лось опре­де­лить, при каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра ре­ше­ни­ем будет яв­лять­ся го­ри­зон­таль­ный от­ре­зок дли­ной 2 (см. рис.). Най­дем абс­цис­сы кон­цов верх­не­го от­рез­ка: Абс­цис­сы кон­цов ниж­не­го от­рез­ка най­дем из урав­не­ния по­лу­чим Раз­ность абс­цисс кон­цов от­рез­ков долж­на быть равна двум, имеем:

Ответ: или

Ре­ше­ние. Будем счи­тать все массы в де­ся­тых ча­стях ки­ло­грам­ма. Тогда слит­ки весят 111 и 133 таких еди­ни­цы. Пусть пер­вых слит­ков при­вез­ли x, а вто­рых y.

а)  По­лу­ча­ем урав­не­ние 111x + 133y  =  3630. По­сколь­ку 111 и 3630 де­лят­ся на 3, то и 133y  =  3630 − 111x де­лит­ся на 3, от­ку­да y де­лит­ся на 3. Пусть y  =  3t, тогда урав­не­ние при­мет вид

За­ме­тим, что

Зна­чит, x − t крат­но 10 и 121 − 16t крат­но 37. Далее, от­ку­да Итак, t ⩽ 9. Вы­чис­ляя 121 − 16t по­лу­чим числа 121, 105, 89, 73, 57, 41, 25, 9, −7, −23, ни одно из ко­то­рых не крат­но 37.

б)  Не­труд­но убе­дить­ся, что

Найти этот ва­ри­ант можно, пе­ре­би­рая числа 3640, 3640 − 133, 3640 − 133 · 2, ..., в по­ис­ках числа, крат­но­го 111.

в)  Нам нужно найти такие x и y, чтобы вы­ра­же­ние 111x + 133y было как можно боль­ше, но мень­ше чем 3630. Иными сло­ва­ми, вы­ра­же­ние 3630 − 133y − 111x долж­но быть по­ло­жи­тель­ным, но как можно мень­шим. Вы­пи­шем числа, крат­ные 133 и не пре­вос­хо­дя­щие 3630. Это будут 133, 266, 399, 532, 665, 798, 931, 1064, 1197, 1330, 1463, 1596, 1729, 1862, 1995, 2128, 2261, 2394, 2527, 2660, 2793, 2926, 3059, 3192, 3325, 3458, 3591.

Если вы­честь их из 3630, по­лу­чат­ся числа 3497, 3364, 3231, 3098, 2965, 2832, 2699, 2566, 2433, 2300, 2167, 2034, 1901, 1768, 1635, 1502, 1369, 1236, 1103, 970, 837, 704, 571, 438, 305, 172, 39.

Для каж­до­го из них за­пи­шем оста­ток от де­ле­ния на 111  — это и будет ми­ни­маль­ное число, ко­то­рое можно по­лу­чить для каж­до­го кон­крет­но­го y: 56, 34, 12, 101, 79, 57, 35, 13, 102, 80, 58, 36, 14, 103, 81, 59, 37, 15, 104, 82, 60, 38, 16, 105, 83, 61, 39. Сле­до­ва­тель­но, мак­си­маль­ное зна­че­ние S равно 3630 − 12  =  3618 еди­ниц и до­сти­га­ет­ся для при­ме­ра 3618  =  3 · 133 + 29 · 111.

Ответ: а) нет; б) да; в) S  =  361,8 кг.