Ре­ше­ние. а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

б)  Рас­смот­рим k  =  −1, 0, 1, по­лу­чим корни: Оце­ним эти корни:

Сле­до­ва­тель­но, на от­рез­ке лежат корни при k  =  0:

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Так как пря­мые AC и A₁C₁ па­рал­лель­ны, и пря­мые CD и B₁E₁ па­рал­лель­ны, ука­зан­ные плос­ко­сти об­ра­зу­ют се­че­ния AA₁C₁C и B₁CDE₁. За­ме­тим, что пря­мая B₁E₁ пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой A₁C₁, пря­мая B₁E₁ пер­пен­ди­ку­ля­ра пря­мой AA₁, сле­до­ва­тель­но, пря­мая B₁E₁ пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ACA₁, а это зна­чит, что плос­ко­сти ACA₁ и B₁CE₁ вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Угол между B₁CE и ACB равен углу между B₁CE₁ и A₁B₁C₁. Пря­мая B₁E₁  — линия пе­ре­се­че­ния этих плос­ко­стей. Пусть K  — точка пе­ре­се­че­ния B₁E₁ и A₁C₁. Тогда из п. а) сле­ду­ет, что CK и C₁K пер­пен­ди­ку­ляр­ны B₁E₁. Сле­до­ва­тель­но, угол CKC₁ равен ис­ко­мо­му углу. Из свойств ше­сти­уголь­ни­ка сле­ду­ет, что

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Раз­ло­жим вто­рую скоб­ку в левой части не­ра­вен­ства на мно­жи­те­ли, затем при­ме­ним к по­лу­чен­ным мно­жи­те­лям метод ра­ци­о­на­ли­за­ции. По­ло­жим Кор­ня­ми квад­рат­но­го урав­не­ния яв­ля­ют­ся числа и 2, по­это­му

Далее имеем:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть из­на­чаль­но вло­жен­ная сумма равны S, а каж­дая из про­цент­ных ста­вок дер­жа­лась x лет. Тогда через 3х лет при­быль по ак­ци­ям со­став­ля­ла

По усло­вию, в ре­зуль­та­те сто­и­мость акций уве­ли­чи­лась на 156%, то есть стала равна

Решим в целых чис­лах урав­не­ние:

Таким об­ра­зом, Билл по­лу­чал при­быль по ак­ци­ям 6 лет.

Ответ: 6.

При­ведём общий под­ход к ре­ше­нию этой за­да­чи.

Если при­быль по ак­ци­ям ме­ня­ет­ся с те­че­ни­ем вре­ме­ни, за­да­чу можно све­сти к си­сте­ме урав­не­ний. По­ка­жем, как это сде­лать.

Пусть x лет при­быль по ак­ци­ям со­став­ля­ла в год, y лет  — 37,5% в год, z лет  — в год, а на­чаль­ная сто­и­мость акций со­став­ля­ла S. Тогда через лет сто­и­мость акций будет со­став­лять

По усло­вию, в ре­зуль­та­те сто­и­мость акций уве­ли­чи­лась на 156%, то есть стала равна

Решим в целых чис­лах урав­не­ние:

Таким об­ра­зом, Билл по­лу­чал при­быль по ак­ци­ям 6 лет.

При­ме­ча­ние.

Более слож­ные ва­ри­ан­ты этой за­да­чи см. в но­ме­рах 635568, 532959 и 506948. Более про­стой: 620478

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что у тре­уголь­ни­ков AOB и AOD общая вы­со­та, про­ве­ден­ная из вер­ши­ны A. Зна­чит, их пло­ща­ди от­но­сят­ся так же, как ос­но­ва­ния:

По­след­нее ра­вен­ство сле­ду­ет из по­до­бия тре­уголь­ни­ков BOC и DOA.

б)  Из пунк­та а) сле­ду­ет, что Ана­ло­гич­но по­это­му Далее,

от­сю­да Окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем, что

Ответ: 12,5.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что

Пусть где тогда

Рас­смот­рим функ­цию Для того чтобы ис­ход­ное урав­не­ние имело ровно два корня, хотя бы один из ко­то­рых не менее 0,5, урав­не­ние долж­но иметь два по­ло­жи­тель­ных корня, хотя бы один из ко­то­рых не боль­ше Это до­сти­га­ет­ся в двух слу­ча­ях.

Рас­смот­рим первую си­сте­му:

Эта си­сте­ма ре­ше­ний не имеет. Решим вто­рую си­сте­му:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Ясно, что в паре с чис­лом 7 может быть толь­ко число 2, в паре с чис­лом 6 толь­ко число 3 и в паре с чис­лом 5 толь­ко число 4. Зна­чит, по­след­нюю пару со­ста­вят две еди­ни­цы, но 1 + 1 не будет точ­ным квад­ра­том.

б)  Это воз­мож­но, если взять в пары числа 1 + 3, 2 + 2, 3 + 1 и 12 + 4, 11 + 5,  ...,  4 + 12.

в)  Под­бе­рем число a так, чтобы числа a + 1 и a + 1 + 2015 были точ­ны­ми квад­ра­та­ми. Тогда можно будет раз­бить на пары все числа от 1 до a, где в каж­дой паре сумма a + 1, и все осталь­ные числа, где в каж­дой паре сумма a + 2016.

Из урав­не­ний и по­лу­чим то есть Пусть, на­при­мер, y − x  =  31 и y + x  =  65, от­ку­да y  =  48 и x  =  17, a  =  288.

Ответ: а)  нет; б)  да; в)  да.