Ре­ше­ние. а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

б)  Отберём корни при по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти. Под­хо­дят

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Введём си­сте­му ко­ор­ди­нат, как по­ка­за­но на ри­сун­ке: на­ча­ло ко­ор­ди­нат O  — центр ос­но­ва­ния, Ox  — луч  ON, Oy  — луч  OM, Oz  — луч  OE. Пусть OM  =  ON  =  a, тогда EB  =  2a, Ко­ор­ди­на­ты точек будут B(a; a; 0), Тогда

сле­до­ва­тель­но, и, таким об­ра­зом, угол между пря­мы­ми AE и BF равен 180° − 120°  =  60°.

б)  Ко­ор­ди­на­ты точек M(0; a; 0), N(a; 0; 0), тогда

сле­до­ва­тель­но, угол между пря­мы­ми EM и FN равен

Ответ: б)

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что при под­ко­рен­ное вы­ра­же­ние от­ри­ца­тель­но, зна­чит, ре­ше­ний нет. Пусть тогда:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть Вла­ди­мир из­на­чаль­но по­ме­стил в банк  тыс. руб., а в конце каж­до­го из пер­вых двух лет до­пол­ни­тель­но вно­сил x тыс. руб. В со­от­вет­ствии с усло­ви­ем за­пол­ним таб­ли­цу.

Год	Сумма на на­ча­ло года тыс. руб.	Сумма на конец года (с про­цен­та­ми) тыс. руб.	До­пол­ни­тель­ное вло­же­ние тыс. руб.
1	S		x
2			x
3

К концу тре­тье­го года после на­чис­ле­ния про­цен­тов ока­за­лось, что раз­мер вкла­да уве­ли­чил­ся по срав­не­нию с пер­во­на­чаль­ным на 48,5%, зна­чит,

Учи­ты­вая, что по­лу­ча­ем

Ответ: 240 тыс. руб.

Ре­ше­ние. а)  Пусть диа­го­на­ли пря­мо­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в точке P. Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков ABC и BAD сле­ду­ет, что BM  =  AK. Тогда PM : BM  =  PK : AK. От­сю­да по­лу­ча­ем, что тре­уголь­ни­ки PMK и PAB по­доб­ны и пря­мые MK и AB па­рал­лель­ны, при­чем MK : AB  =  PM : PB. Ана­ло­гич­но, BM  =  CL, по­это­му пря­мые ML и BC па­рал­лель­ны и ML : BC  =  PM : PB. Итак, сто­ро­ны че­ты­рех­уголь­ни­ка LMKN па­рал­лель­ны сто­ро­нам пря­мо­уголь­ни­ка ABCD и про­пор­ци­о­наль­ны им. Таким об­ра­зом, LMKN пря­мо­уголь­ник, по­доб­ный пря­мо­уголь­ни­ку ABCD. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Без огра­ни­че­ния общ­но­сти можно счи­тать, что Имеем:

От­сю­да По­лу­ча­ем, что Пусть AC  =  10x, тогда: AB  =  6x, BC  =  8x и

Окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем, что

Это и есть ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия.

Ответ: б) 1 : 5.

Ре­ше­ние. Вы­чтем из вто­ро­го урав­не­ния пер­вое и сгруп­пи­ру­ем сла­га­е­мые:

Пусть тогда По­лу­ча­ем си­сте­му

Пер­вое урав­не­ние имеет ре­ше­ние при тогда си­сте­ма имеет ре­ше­ния в том слу­чае, когда урав­не­ние имеет хотя бы один ко­рень, удо­вле­тво­ря­ю­щий усло­вию Дис­кри­ми­нант этого квад­рат­но­го урав­не­ния равен

Зна­чит, урав­не­ние имеет корни при

Рас­смот­рим квад­ра­тич­ную функ­цию Гра­фи­ком яв­ля­ет­ся па­ра­бо­ла, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх, абс­цис­са вер­ши­ны При абс­цис­са вер­ши­ны Зна­чит, толь­ко один (мень­ший) ко­рень урав­не­ния может быть не боль­ше Для этого до­ста­точ­но, чтобы

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Да, на­при­мер, 173  =  111 + 61 + 1.

б)  Есть толь­ко числа 1, 6, 11, 16, 61, 66, со­став­лен­ные из этих цифр и мень­шие 109 (ясно что дру­гие нель­зя ис­поль­зо­вать). При этом из по­след­них двух можно ис­поль­зо­вать не более од­но­го (61 + 66 > 109), а тогда сумма осталь­ных не пре­взой­дет

в)  За­ме­тим, что каж­дое из этих чисел дает оста­ток 1 при де­ле­нии на 5. Зна­чит, для по­лу­че­ния числа 1021 нужно взять одно такое число, что не­воз­мож­но, или не менее 6. Шесть чисел взять можно, на­при­мер,

Ответ: а) да; б) нет; в) 6.