Ре­ше­ние. а)  Ис­поль­зу­ем фор­му­лу раз­но­сти квад­ра­тов, затем фор­му­лы суммы и раз­но­сти си­ну­сов:

б)  Отберём корни при по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти. По­лу­чим

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что тре­уголь­ни­ки BDC и EDC₁ равны, сле­до­ва­тель­но, EC₁  =  B₁C₁  =  A₁C₁, то есть в тре­уголь­ни­ке A₁B₁E ме­ди­а­на A₁C₁ равна по­ло­ви­не сто­ро­ны, к ко­то­рой про­ве­де­на. Таким об­ра­зом, тре­уголь­ник A₁B₁E  — пря­мо­уголь­ный с пря­мым углом EA₁B₁.

б)  Пря­мая A₁E  — линия пе­ре­се­че­ния плос­ко­стей BDA₁ и A₁B₁C₁. Так как A₁B₁ яв­ля­ет­ся про­ек­ци­ей BA₁ на плос­кость A₁B₁C₁ и A₁B₁ пер­пен­ди­ку­ляр­на EA₁, то по тео­ре­ме о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах BA₁ пер­пен­ди­ку­ляр­на EA₁ и угол BA₁B₁ яв­ля­ет­ся ли­ней­ным углом ис­ко­мо­го угла. Тогда

Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мый угол равен

Ответ: б)

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что раз­ло­жим на мно­жи­те­ли и при­ме­ним метод ра­ци­о­на­ли­за­ции:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Из усло­вия сле­ду­ет, что

От­сю­да за­клю­ча­ем, что углы LDC и DLC равны, по­это­му тре­уголь­ник LCD рав­но­бед­рен­ный. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Из усло­вия сле­ду­ет, что то есть Из свой­ства бис­сек­три­сы сле­ду­ет, что

Тогда

Пусть E  — точка пе­ре­се­че­ния DL и AB. По тео­ре­ме Ме­не­лая

За­ме­тим, что

Под­ста­вим най­ден­ное от­но­ше­ние в тео­ре­му Ме­не­лая, по­лу­чим: от­ку­да

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Кре­дит на сумму 6 млн руб. взят на 6 лет, а сумма долга каж­дый год долж­на умень­шать­ся на одну и ту же ве­ли­чи­ну. Зна­чит, сумма долга еже­год­но долж­на умень­шать­ся на 1 млн руб. За­пол­ним таб­ли­цу:

Год	Долг после на­чис­ле­ния про­цен­тов, млн руб.	Вы­пла­та, млн руб.	Долг до на­чис­ле­ния про­цен­тов, млн руб.
2014			6
2015			5
2016			4
2017			3
2018			2
2019			1
2020			0

Найдём сумму вы­плат:

Будем счи­тать, что пер­во­на­чаль­ная цена квар­ти­ра была равна сумме, взя­той в кре­дит. Тогда в ян­ва­ре 2020 года квар­ти­ру про­да­ли за сумму, пре­вы­ша­ю­щую пер­во­на­чаль­ную сто­и­мость квар­ти­ры на 60%, то есть за

Таким об­ра­зом, Семёну Мар­ко­ви­чу уда­лось за­ра­бо­тать млн руб., или 660 тыс. руб.

Ответ: 660 тыс. руб­лей.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем си­сте­му:

Для того чтобы си­сте­ма имела ровно два ре­ше­ния, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы урав­не­ние имело два раз­лич­ных корня, боль­ший из ко­то­рых мень­ше 1. Найдём эти корни:

Корни раз­лич­ны при Найдём зна­че­ния па­ра­мет­ра, при ко­то­рых боль­ший из кор­ней мень­ше 1:

Итак, ис­ход­ная си­сте­ма имеет ровно два ре­ше­ния при

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  По­сле­до­ва­тель­но вы­чис­лим от­ку­да сумма пер­вых пяти чле­нов равна

б)  Обо­зна­чим За­ме­тим, что и при этом и Тогда имеем:

в)  По­сколь­ку можно вы­чис­лить сумму b_i и воз­ве­сти 2 в по­лу­чен­ную сте­пень. Кроме того, по­это­му

Ис­ко­мое про­из­ве­де­ние равно 2²⁵⁸⁵.

Ответ: а)   б)  4181; в)  2²⁵⁸⁵.

При­ме­ча­ние Вла­ди­сла­ва Фран­ка (Санкт-Пе­тер­бург).

Не­труд­но за­ме­тить, что по­сле­до­ва­тель­ность пред­став­ля­ет собой по­сле­до­ва­тель­ность Фи­бо­нач­чи (без пер­вой еди­ни­цы) с че­ре­до­ва­ни­ем зна­ков. Если в усло­вии по­ме­нять чис­ли­тель со зна­ме­на­те­лем ме­ста­ми, то есть при по­сле­до­ва­тель­ность была бы пе­ри­о­ди­че­ской с пе­ри­о­дом 6: 1, 2, 2, 1, 1, ..., а за­да­ча была бы ин­те­рес­нее.