Ре­ше­ние. а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

б)  Отберём корни при по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти (см. рис.). На за­дан­ном про­ме­жут­ке лежат корни:

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть K  — се­ре­ди­на вы­со­ты пи­ра­ми­ды SO. Пря­мая BK лежит в плос­ко­сти α и в плос­ко­сти SBD, со­дер­жа­щей вы­со­ту SO. Тогда точка L яв­ля­ет­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния BK с SD и плос­ко­сти α и SD. По тео­ре­ме Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка SDO и пря­мой BL имеем:

от­ку­да

б)  Про­ве­дем через точку K сред­нюю линию MN тре­уголь­ни­ка SAC. Пря­мая MN па­рал­лель­на AC, сле­до­ва­тель­но, лежит в плос­ко­сти. Таким об­ра­зом, MN  — линия пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти α и плос­ко­сти ASC. Оче­вид­но, что тре­уголь­ник BMN  — рав­но­бед­рен­ный, сле­до­ва­тель­но, от­рез­ки BK и MN вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Пря­мые SO и AC пер­пен­ди­ку­ляр­ны, сле­до­ва­тель­но, пря­мые SO и MN также вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Таким об­ра­зом, угол BKO яв­ля­ет­ся ли­ней­ным углом ис­ко­мо­го угла между плос­ко­стью α и плос­ко­стью ASC. Обо­зна­чим вы­со­ту пи­ра­ми­ды SO  =  2h. Тогда Далее на­хо­дим,

Тогда

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Про­ве­дем   — пер­пен­ди­ку­ляр из точки P к хорде AC и DH₂  — пер­пен­ди­ку­ляр из точки D к пря­мой AC. По усло­вию AD  =  PC, DH₂  =  PH₁, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки ADH₂ и СPH₁ равны. Тогда углы DAT и PCT равны. Таким об­ра­зом, пря­мые AD и BC па­рал­лель­ны, а че­ты­рех­уголь­ник ABCD  — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция. Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник BTC рав­но­бед­рен­ный, по­это­му TP  — его ме­ди­а­на, а зна­чит, BP  =  PC. Пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ков ABPD и APCD равны, так как это рав­ные па­рал­ле­ло­грам­мы. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Из от­но­ше­ния по­лу­чим, что тре­уголь­ни­ки BTC и ATD по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том 2 : 1, зна­чит,

Таким об­ра­зом, S_BTC  =  12.

Из по­до­бия сле­ду­ет, что Из от­но­ше­ния най­дем, что Вы­чис­лим пло­щадь тра­пе­ции ABCD:

За­ме­тим те­перь, что где h  — вы­со­та тра­пе­ции. По­сколь­ку

на­хо­дим:

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Пусть кре­дит взят на k лет. Вне­сем в таб­ли­цу дан­ные со­глас­но усло­вию.

Номер года	Долг в ян­ва­ре, после на­чис­ле­ния про­цен­тов, млн руб.	Вы­пла­та, млн руб.	Долг в июле, млн руб.
n − 1	...	...
n

Вы­пла­та в n-⁠й год равна

Рас­смат­ри­вая по­след­нее вы­ра­же­ние как квад­ра­тич­ную функ­цию с от­ри­ца­тель­ным стар­шим ко­эф­фи­ци­ен­том, за­клю­ча­ем, что она до­сти­га­ет наи­боль­ше­го зна­че­ния в точке

и оно равно

Наи­боль­ший го­до­вой пла­теж по кре­ди­ту не дол­жен пре­вы­шать 3 млн руб­лей, тогда

Зна­чит, ми­ни­маль­ный срок кре­ди­та  — 4 года, а мак­си­маль­ный  — 20 лет.

Ответ: 4 года и 20 лет.

Ре­ше­ние. Пусть За­ме­тим, что

зна­чит, Каж­до­му зна­че­нию со­от­вет­ству­ют два зна­че­ния пе­ре­мен­ной x, а зна­че­нию   — одно зна­че­ние пе­ре­мен­ной x. Си­сте­ма при­ни­ма­ет вид

Вос­поль­зу­ем­ся графо-ана­ли­ти­че­ским ме­то­дом. В плос­ко­сти tOy гра­фи­ком пер­во­го урав­не­ния си­сте­мы будет яв­лять­ся сто­ро­ны квад­ра­та с вер­ши­на­ми в точ­ках и Гра­фи­ком вто­ро­го урав­не­ния си­сте­мы будет яв­лять­ся окруж­ность (вы­рож­да­ю­ща­я­ся в точку при ) с цен­тром в на­ча­ле ко­ор­ди­нат и ра­ди­у­сом

При си­сте­ма (⁎) не имеет ре­ше­ний, а зна­чит, и ис­ход­ная си­сте­ма не имеет ре­ше­ний.

При си­сте­ма (⁎) имеет два ре­ше­ния (вы­де­ле­но крас­ным), причём для обоих ре­ше­ний зна­чит, ис­ход­ная си­сте­ма имеет че­ты­ре ре­ше­ния.

При си­сте­ма (⁎) имеет че­ты­ре ре­ше­ния (вы­де­ле­но зелёным), причём для всех ре­ше­ний зна­чит, ис­ход­ная си­сте­ма имеет во­семь ре­ше­ний.

При си­сте­ма (⁎) имеет шесть ре­ше­ний (вы­де­ле­но оран­же­вым), для четырёх из ко­то­рых а для двух зна­чит, ис­ход­ная си­сте­ма имеет де­сять ре­ше­ний.

При си­сте­ма (⁎) имеет шесть ре­ше­ний, причём для всех ре­ше­ний зна­чит, ис­ход­ная си­сте­ма имеет две­на­дцать ре­ше­ний.

При си­сте­ма (⁎) имеет три ре­ше­ния (вы­де­ле­но не­бес­но-го­лу­бым), причём для всех ре­ше­ний зна­чит, ис­ход­ная си­сте­ма имеет шесть ре­ше­ний.

При си­сте­ма (⁎) не имеет ре­ше­ний, а зна­чит и ис­ход­ная си­сте­ма не имеет ре­ше­ний.

Таким об­ра­зом, ис­ход­ная си­сте­ма имеет ровно во­семь ре­ше­ний, если или

Ответ:

Ре­ше­ние. За­ме­тим сразу, что сумма чисел не ме­ня­ет­ся, а раз­ность умень­ша­ет­ся вдвое.

а)  Из чисел 1 и 17 по­лу­чат­ся по­сле­до­ва­тель­но 5 и 13, 7 и 11, 8 и 10. На этом игра оста­но­вит­ся.

б)  Если бы это было воз­мож­но, то раз­ность между на­чаль­ны­ми чис­ла­ми за эти не­сколь­ко ходов умень­ши­лась бы ми­ни­мум в 512 раз. Зна­чит, она стала бы равна 1, а из­на­чаль­но была 512. Тогда на пред­по­след­нем ходе раз­ность была равна 2. Од­на­ко из чисел x и x + 2 по­лу­ча­ют­ся числа x + 0,5 и x + 1,5, то есть не­це­лые.

в)  Пусть a < b. Сле­ду­ет найти мак­си­мум вы­ра­же­ния

Если умень­шить a и b на одно и то же число, то чис­ли­тель дроби не из­ме­нит­ся, а зна­ме­на­тель умень­шить­ся, сле­до­ва­тель­но, дробь уве­ли­чит­ся. Зна­чит, в оп­ти­маль­ном слу­чае a  =  1, по­сколь­ку иначе умень­шим a и b на a − 1. Тогда

При уве­ли­че­нии b вы­ра­же­ние 3b рас­тет ми­ни­мум на 3, а вы­ра­же­ние умень­шит­ся менее чем на 3, по­сколь­ку оно само не боль­ше трех. Зна­чит, самое боль­шое зна­че­ние будет при самом боль­шом воз­мож­ном b, то есть при b  =  997: при b  =  998, 999 пер­во­го хода сде­лать нель­зя. Итак, нужно взять числа 1 и 997, по­лу­чить из них 250 и 748, и по­лу­чить ответ:

Ответ: а)  да; б)  нет; в)