РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Вариант № 21674232

1.  Тип 15 № 507258 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Метод интервалов, Рационализация неравенств. Логарифмы

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию, применение рационализации

Решите неравенство $логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 25 минус x в квадрате , знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка дробь: числитель: 24 плюс 2x минус x в квадрате , знаменатель: 14 конец дроби больше 1.$

Решение. Решим неравенство методом рационализации:

$логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 25 минус x в квадрате , знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка дробь: числитель: 24 плюс 2x минус x в квадрате , знаменатель: 14 конец дроби больше 1 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 25 минус x в квадрате , знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка дробь: числитель: 24 плюс 2x минус x в квадрате , знаменатель: 14 конец дроби минус логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 25 минус x в квадрате , знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка дробь: числитель: 25 минус x в квадрате , знаменатель: 16 конец дроби больше 0 равносильно$ $логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 25 минус x в квадрате , знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка дробь: числитель: 24 плюс 2x минус x в квадрате , знаменатель: 14 конец дроби больше 1 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 25 минус x в квадрате , знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка дробь: числитель: 24 плюс 2x минус x в квадрате , знаменатель: 14 конец дроби минус логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 25 минус x в квадрате , знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка дробь: числитель: 25 минус x в квадрате , знаменатель: 16 конец дроби больше 0 равносильно$

$равносильно система выражений левая круглая скобка дробь: числитель: 25 минус x в квадрате , знаменатель: 16 конец дроби минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 24 плюс 2x минус x в квадрате , знаменатель: 14 конец дроби минус дробь: числитель: 25 минус x в квадрате , знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка больше 0,25 минус x в квадрате больше 0 ,24 плюс 2x минус x в квадрате больше 0 дробь: числитель: 25 минус x в квадрате , знаменатель: 16 конец дроби не равно 1 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка дробь: числитель: 9 минус x в квадрате , знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: минус x в квадрате плюс 16x плюс 17, знаменатель: 112 конец дроби правая круглая скобка больше 0, минус 5 меньше x меньше 5, минус 4 меньше x меньше 6,x не равно \pm3 конец системы . равносильно$ $равносильно система выражений левая круглая скобка дробь: числитель: 25 минус x в квадрате , знаменатель: 16 конец дроби минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 24 плюс 2x минус x в квадрате , знаменатель: 14 конец дроби минус дробь: числитель: 25 минус x в квадрате , знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка больше 0,25 минус x в квадрате больше 0 ,24 плюс 2x минус x в квадрате больше 0 дробь: числитель: 25 минус x в квадрате , знаменатель: 16 конец дроби не равно 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка дробь: числитель: 9 минус x в квадрате , знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: минус x в квадрате плюс 16x плюс 17, знаменатель: 112 конец дроби правая круглая скобка больше 0, минус 5 меньше x меньше 5, минус 4 меньше x меньше 6,x не равно \pm3 конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений левая круглая скобка x в квадрате минус 9 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 16x минус 17 правая круглая скобка больше 0, минус 4 меньше x меньше 5,x не равно \pm3 конец системы . равносильно совокупность выражений минус 4 меньше x меньше минус 3, минус 1 меньше x меньше 3. конец совокупности .$

Ответ: (−4; −3) ∪ (−1; 3).

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ответ: (−4; −3) ∪ (−1; 3).

507258

(−4; −3) ∪ (−1; 3).

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Метод интервалов, Рационализация неравенств. Логарифмы

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

2.  Тип 15 № 507635 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Решите неравенство $дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2x правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5x правая круглая скобка 2, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 0,125x правая круглая скобка 8 конец дроби меньше или равно 1.$

Решение. Левая часть неравенства имеет смысл при $x больше 0,0,5x не равно 1$ и $0,125x не равно 1,$ то есть при $x больше 0,x не равно 2$ и $x не равно 8.$ При этих условиях получаем:

$дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2, знаменатель: левая круглая скобка 2x правая круглая скобка конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 0,5x правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 0,125x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 2 плюс логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 0,125 плюс логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 0,5 плюс логарифм по основанию 2 x конец дроби меньше или равно 3 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 x минус 1 конец дроби меньше или равно 3.$ $дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2, знаменатель: левая круглая скобка 2x правая круглая скобка конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 0,5x правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 0,125x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 2 плюс логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 0,125 плюс логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 0,5 плюс логарифм по основанию 2 x конец дроби меньше или равно 3 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 x минус 1 конец дроби меньше или равно 3.$ $дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2, знаменатель: левая круглая скобка 2x правая круглая скобка конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 0,5x правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 0,125x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 1 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 2 плюс логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 0,125 плюс логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 0,5 плюс логарифм по основанию 2 x конец дроби меньше или равно 3 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 x минус 1 конец дроби меньше или равно 3.$

Сделаем замену $y= логарифм по основанию 2 x,$ тогда

$дробь: числитель: левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка y минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: y минус 1 конец дроби меньше или равно 3 равносильно дробь: числитель: y левая круглая скобка y минус 5 правая круглая скобка , знаменатель: y минус 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка y меньше или равно 0, новая строка 1 меньше y меньше или равно 5. конец совокупности$

Откуда $0 меньше x меньше или равно 1$ или $2 меньше x меньше или равно 32.$ Из полученного набора нужно ещё исключить точку 8. Получаем ответ: $левая круглая скобка 0;1 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 2;8 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 8;32 правая квадратная скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка 0;1 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 2;8 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 8;32 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

507635

$левая круглая скобка 0;1 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 2;8 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 8;32 правая квадратная скобка .$

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

3.  Тип 15 № 507893 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Решите неравенство $логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате плюс x правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 1 правая круглая скобка \leqslant1.$

Решение. 1)  Если $x в квадрате плюс x больше 1,$ то

$система выражений x в квадрате плюс x минус 1 больше 0, 0 меньше x в квадрате минус 2x плюс 1 меньше или равно x в квадрате плюс x конец системы равносильно система выражений x в квадрате плюс x минус 1 больше 0, x не равно 1, 3x больше или равно 1, конец системы$

откуда $дробь: числитель: минус 1 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше 1$ или $x больше 1.$

2)  Если $0 меньше x в квадрате плюс x меньше 1,$ то

$система выражений x в квадрате плюс x минус 1 меньше 0, x в квадрате плюс x больше 0 , x в квадрате минус 2x плюс 1 больше или равно x в квадрате плюс x конец системы равносильно система выражений x в квадрате плюс x минус 1 меньше 0 , x левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка больше 0, 3x меньше или равно 1, конец системы$

откуда $дробь: числитель: минус 1 минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше минус 1$ или $0 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$

Объединяя найденные промежутки, получаем решение неравенства:

$дробь: числитель: минус 1 минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше минус 1$ или $0 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби$ или $дробь: числитель: минус 1 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше 1$ или $x больше 1.$

Ответ: $левая круглая скобка дробь: числитель: минус 1 минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: минус 1 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

507893

$левая круглая скобка дробь: числитель: минус 1 минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: минус 1 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	507258	(−4; −3) ∪ (−1; 3).
2	507635	$левая круглая скобка 0;1 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 2;8 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 8;32 правая квадратная скобка .$
3	507893	$левая круглая скобка дробь: числитель: минус 1 минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: минус 1 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$