PDF-версии: 
В правильном тетраэдре ABCD все ребра равны 6. На ребрах AB и AD отмечены точки M и K соответственно так, что AM = AK = 2.
а) Докажите, что плоскость CMK делит тетраэдр ABCD на два многогранника, объёмы которых относятся как 8 : 1.
б) Найдите косинус угла между плоскостью CBD и плоскостью CMK.
Решение.
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
В правильном тетраэдре ABCD все ребра равны 10. На ребрах AB и AD отмечены точки M и K соответственно так, что AM = AK = 6.
а) Докажите, что плоскость CMK делит тетраэдр ABCD на два многогранника, объёмы которых относятся как 16 : 9.
б) Найдите косинус угла между плоскостью CBD и плоскостью CMK.
а) Пусть длина высоты CO тетраэдра ABCD равна h. Объем этого тетраэдра равен
Треугольник AMK — равнобедренный с углом 60°, то есть равносторонний. Следовательно, объем пирамиды CMKA равен
Таким образом, объем многогранника CMKDB и искомое отношение соответственно равны
б) Пусть точка A1 — середина отрезка MK, а точка A2 — середина отрезка BD. Треугольники AMK и ABD — равнобедренные, прямые MK и BD параллельны по теореме, обратной теореме Фалеса, поэтому точки A, A1, A2 лежат на одной прямой, причем эта прямая перпендикулярна и прямой MK, и прямой BD. Проведем через точку C прямую l, параллельную прямой BD, по этой прямой пересекаются плоскости CMK и CBD. Отрезки CA1 и CA2 являются медианами, проведенными к основаниям равнобедренных треугольников, а потому и их высотами. Следовательно, прямая l соответственно перпендикулярна прямым CA1 и CA2, а потому косинус угла A1CA2 — искомый.
Прямоугольные треугольники MAA1 и BAA2 подобны по двум углам, а потому 
откуда
Тетраэдр ABCD — правильный, поэтому его грани являются равными треугольниками, то есть 
По теореме косинусов для треугольника CAA2 получаем:
Аналогично для треугольника CA1A2 находим:
Для этого же треугольника по теореме косинусов окончательно вычислим:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
