Ре­ше­ние. а)  Если из числа 15 вы­черк­нуть еди­ни­цу, то по­лу­чит­ся число 5, ко­то­рое в три раза мень­ше ис­ход­но­го.

б)  Если такое воз­мож­но, то ис­ход­ное число долж­но быть чет­ным, а по­то­му за­кан­чи­вать­ся на 2, 4, 6 или 8. Сле­до­ва­тель­но, после вы­чер­ки­ва­ния всех еди­ниц по­след­няя цифра по­лу­чен­ное число тоже будет за­кан­чи­вать­ся на 2, 4, 6 или 8. Оста­лось от­ме­тить, что в ре­зуль­та­те умно­же­ния каж­до­го из этих чисел на 4 будут по­лу­чать­ся числа, не окан­чи­ва­ю­щи­е­ся на ту же цифру:

Таким об­ра­зом, число не могло умень­шит­ся в че­ты­ре раза.

в)  Пусть a  — ис­ход­ное число, b  — по­лу­чен­ное. Если по­лу­чен­ное число в своей за­пи­си со­дер­жит две или более цифр, то

Если по­лу­чен­ное число  — од­но­знач­ное, то ис­ход­ное со­дер­жит че­ты­ре еди­ни­цы и одну цифру m, то есть В этом слу­чае ис­ко­мое част­ное будет равно

что все­гда боль­ше 10 000. По­лу­чен­ное вы­ра­же­ние до­сти­га­ет мак­си­му­ма при наи­мень­шем воз­мож­ном m, то есть при

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  10555,5.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние пунк­та б).

Пусть a  — ис­ход­ное число, b  — по­лу­чен­ное, тогда из усло­вия Рас­смот­рим самую пра­вую еди­ни­цу ис­ход­но­го числа, пусть спра­ва от нее стоит k цифр. После вы­чер­ки­ва­ния всех еди­ниц k цифр оста­нут­ся на своих ме­стах, по­это­му числа a и b окан­чи­ва­ют­ся на оди­на­ко­вые k цифр. Сле­до­ва­тель­но, а по­то­му то есть Числа 3 и 10 вза­им­но про­сты, по­это­му то есть число b за­кан­чи­ва­ет­ся на k нулей. Ни число a, ни число b не со­дер­жат нулей, по­это­му Таким об­ра­зом, по­след­няя цифра числа a  — еди­ни­ца, то есть оно не­чет­но. Но не­чет­ное число не может быть крат­но 4. Про­ти­во­ре­чие.