PDF-версии: 
В равнобедренном остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AH и CT к боковым сторонам BC и AB. Из точки H проведены перпендикуляры HK и HM на стороны AC и AB соответственно. Прямая MK пересекает прямую CT в точке E.
а) Докажите, что прямые EH и AB параллельны.
б) Найдите ME, если известно, что AB = 17 и AC = 16.
Решение.
а) Сумма углов AMH и AKH равна 180°, поэтому четырехугольник AMHK — вписанный. Вписанные углы HMK и KAH опираются на одну дугу, а потому равны. Прямые CT и HM перпендикулярны прямой AB, поэтому эти прямые параллельны. Тогда при пересечении их секущей MK образуются равные накрест лежащие углы HMK и MET. Углы MET и KEC равны как вертикальные, а 
Отсюда следует, что 
а поскольку точки E и H лежат по одну сторону от прямой CK, то четырехугольник EHCK — вписанный. Вписанные углы HKC и HEC опираются на одну дугу, а потому равны: 
Таким образом, прямые HE и AB соответственно перпендикулярны прямой CT, то есть параллельны.
б) По теореме косинусов для треугольника ABC находим:
Пусть 
тогда получаем 
откуда 
В силу равенства прямоугольных треугольников ABH и CBT по гипотенузе и острому углу находим:
Следовательно,
Из прямоугольного треугольника MET получаем 
а потому
Ответ: 
Приведем другое доказательство пункта а).
Углы ATC и AHC — прямые и опираются на одну сторону AC. Следовательно, точки T и H лежат на одной окружности с диаметром AC. По теореме Симсона основания перпендикуляров, проведенных из случайной точки описанной окружности треугольника, проведенных к его сторонам или их продолжениям, лежат на одной прямой — прямой Симсона. Перпендикуляры, проведенные из точки H, лежащей на описанной окружности треугольника ATC, пересекают сторону AT на ее продолжении за точку T в точке M и сторону AC в точке K соответственно. Следовательно, перпендикуляр, проведенный из точки H к стороне CT, пересекает эту сторону в точке, лежащей на прямой MK. Это точка E.
Следовательно, прямая HE перпендикулярна прямой CT. Прямая CT перпендикулярна прямым AB и HE, а потому прямые AB и HE параллельны.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |