PDF-версии: 
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S точка M — середина SD, точка K — середина SA.
а) Докажите, что прямые BK и CM лежат в одной плоскости α.
б) Найдите объем пирамиды MABF, если угол между плоскостью α и плоскостью основания пирамиды равен 60° и AB = 4.
Решение. а) Отрезок KM — средняя линия треугольника SAD, поэтому прямые KM и AD параллельны, а 
Шестиугольник ABCDEF — правильный, следовательно, прямая BC соответственно параллельна прямым AD и KM, а 
В четырехугольнике BCKM прямые KM и BC параллельны и 
а потому этот четырехугольник — параллелограмм. Прямые BK и CM параллельны, значит, они лежат в одной плоскости.
б) Пусть точка N — точка пересечения высоты SO и прямой KM. Проведем через точку O прямую QT, перпендикулярную прямой BC. Прямая NQ — наклонная, прямая OQ — проекция, тогда по теореме о трех перпендикулярах, прямая NQ перпендикулярна прямой BC. Угол NQT — двугранный угол между плоскостью α и плоскостью основания пирамиды. Из равностороннего треугольника OBC находим: 
Из прямоугольного треугольника NOQ получаем:
Точки M, N и K лежат на одной прямой, поэтому высоты, проведенные из этих точек на плоскость основания пирамиды, равны друг другу. Найдем площадь треугольника ABF:
Таким образом, объем пирамиды MABF равен:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |