РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 19 № 701462 Добавить в вариант

Источник: Задания 19 ЕГЭ–2026

Числа и их свойства. Числа и их свойства

На столе лежит N монет по 2 рубля и (1000 –⁠ N) монет по 5 рублей (N  — натуральное число от 1 до 999). Оказалось, что если взять любые 300 монет, то сумма денег, набранная этими монетами, будет не меньше четверти от общей суммы денег на столе.

а)  Может ли N равняться 100?

б)  Может ли N равняться 500?

в)  Сколько различных значений может принимать число N?

Решение. а)  Ясно, что выполнение условия достаточно проверять для 300 монет наименьшего достоинства. Если $N меньше 300,$ то нужно взять N монет по 2 рубля и $300 минус N$ монет по 5 рублей. В этом случае условие задачи сводится к неравенству:

$2N плюс 5 левая круглая скобка 300 минус N правая круглая скобка больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби левая круглая скобка 2N плюс 5 левая круглая скобка 1000 минус N правая круглая скобка правая круглая скобка равносильно 8N плюс 20 левая круглая скобка 300 минус N правая круглая скобка больше или равно 2N плюс 5 левая круглая скобка 1000 минус N правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 6000 минус 12N больше или равно 5000 минус 3N равносильно 1000 больше или равно 9N,$ $2N плюс 5 левая круглая скобка 300 минус N правая круглая скобка больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби левая круглая скобка 2N плюс 5 левая круглая скобка 1000 минус N правая круглая скобка правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 8N плюс 20 левая круглая скобка 300 минус N правая круглая скобка больше или равно 2N плюс 5 левая круглая скобка 1000 минус N правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 6000 минус 12N больше или равно 5000 минус 3N равносильно 1000 больше или равно 9N,$

то есть подходят числа от 1 до 111. Их 111, в частности, подходит $N = 100.$

б)  Если $N больше или равно 300,$ то нужно взять 300 монет по 2 рубля. Их сумма равна 600, значит, общая сумма денег на столе

$2N плюс 5 левая круглая скобка 1000 минус N правая круглая скобка = 5000 минус 3N меньше или равно 2400,$

откуда $3N больше или равно 2600.$ Подходят числа от 867 до 999, их $999 минус 867 плюс 1 = 133.$ В частности, $N = 500$ не подходит.

в)  Всего подходящих чисел $111 плюс 133 = 244.$

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  244.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  244.

701462

а)  да; б)  нет; в)  244.

Источник: Задания 19 ЕГЭ–2026

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	701462	а)  да; б)  нет; в)  244.