Тип 17 № 699437 
Планиметрическая задача. Окружности и четырехугольники, разные задачи
i
В квадрате KLMN точка D — середина стороны KL, точка E — середина отрезка DM. На стороне KN отмечена точка B так, что KB : BN = 1 : 3.
а) Докажите, что 
б) Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников BDE и BMD, если площадь четырехугольника BEMN равна 17.
Решение. 
а) Пусть 
тогда 
У прямоугольных треугольников MLD и DKB длины соответствующих катетов пропорциональны, поэтому эти треугольники подобны с коэффициентом подобия 
Следовательно, 
а также
то есть 
Отсюда
Таким образом, треугольник BDE — прямоугольный и равнобедренный, а потому
б) По теореме Пифагора для треугольника DKB находим:
тогда из подобия треугольников DKB и MLD следует, что 
Выразим площади трех прямоугольных треугольников, получим:
Следовательно, площадь четырехугольника BEMN равна
откуда 
и 
Треугольники BDE и BMD — прямоугольные, поэтому точки O1 и O2 — центры соответствующих описанных около них окружностей — лежат на серединах их биссектрис. Таким образом, отрезок O1O2 — средняя линия треугольника BEM, а потому
Ответ: б) 
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ: б) 699437
б) 
PDF-версии: 
