Тип 14 № 699399 
Стереометрическая задача. Угол между прямой и плоскостью
i
В основании прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный треугольник ABC с равными сторонами AB и BC. Точка K — середина ребра A1B1, а точка M делит ребро AC в отношении AM : MC = 1 : 3.
а) Докажите, что прямая KM перпендикулярна прямой AC.
б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABB1, если AB = 6, AC = 8 и 
Решение. 
а) Пусть точка N — середина ребра AB, точка L — середина ребра AC. Угол AMN — прямой, потому что прямая MN параллельна прямой BL. Таким образом, прямая NM перпендикулярна прямой AC, и плоскость KNM перпендикулярна прямой AC, следовательно, прямая KM перпендикулярна прямой AC.
б) Пусть отрезок MH — высота треугольника AMB, отрезок CE — высота треугольника ABC, тогда 
Прямая MH перпендикулярна прямым AB и BB1 соответственно, следовательно, она перпендикулярна плоскости ABB1, и угол HKM — искомый. Выразим площадь треугольника ABC двумя способами, получим:
По теореме Пифагора из треугольников ABL и KMN соответственно находим:
Таким образом, получаем:
откуда 
Ответ: б) 
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ: б) 699399
б) 
PDF-версии: 
