Тип 17 № 697994 
Планиметрическая задача. Вписанные окружности и четырехугольники
i
В равнобедренную трапецию ABCD с основаниями AD и BC 
вписана окружность с центром O. Из вершины C опущена высота CH.
а) Докажите, что прямая AO является серединным перпендикуляром к отрезку BH.
б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции, если радиус вписанной в неё окружности равен 4, а длина отрезка, соединяющего точки касания вписанной окружности с боковыми сторонами, равна 
Решение. 
а) Пусть точка M — середина основания BC, точка N — середина основания AD, точка K — точка касания вписанной окружности и боковой стороны AB. Четырехугольник MCNH — прямоугольник по определению, поэтому 
Отрезки BM и MC равны по построению, отрезки OM и ON — как радиусы, а отрезки KB и BM — как отрезки касательных, проведенных из одной точки. Таким образом, 
Прямоугольные треугольники BMO и HNO равны по двум катетам, поэтому 
Отрезки AK и AN равны как отрезки касательных, проведенных из одной точки, поэтому 
и треугольники ABO и AHO равны по трем сторонам. Следовательно, в равнобедренном треугольнике ABH отрезок AO является и медианой, и высотой, а потому прямая AO является серединным перпендикуляром к отрезку BH.
б) Пусть точка P — точка касания вписанной окружности и боковой стороны CD. Отрезки MC и CP равны как отрезки касательных, проведенных из одной точки, поэтому 
откуда 
Углы KAD и PDA равны как углы при основании равнобедренной трапеции, тогда по теореме, обратной теореме Фалеса, прямые KP и AD параллельны, то есть четырехугольник AKPD — равнобедренная трапеция. Пусть точка T — середина отрезка KP. Для угла TKO получаем:
следовательно, прямоугольные треугольники KTO и CHD подобны по двум углам и верны отношения 
то есть
Синусы равных углов равны, поэтому
По теореме Пифагора для треугольника AHC получаем:
Окружность, описанная около треугольника ADC, является описанной и для трапеции ABCD. По теореме синусов для треугольника ACD находим:
Ответ: б) 
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ: б) 697994
б)