РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 697992 Добавить в вариант

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию, применение рационализации

Решите неравенство: $дробь: числитель: логарифм по основанию x левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию x левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка плюс 1 минус логарифм по основанию x левая круглая скобка минус 2x в квадрате плюс 7x минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: 3 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус x правая круглая скобка минус 9 конец дроби меньше или равно 0.$

Решение. Найдем ОДЗ:

$система выражений x больше 0, x не равно q 1, 2x минус 1 больше 0, 3 минус x больше 0, минус 2x в квадрате плюс 7x минус 3 больше 0, 3 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус x правая круглая скобка не равно q 9 конец системы . равносильно система выражений x больше 0, x не равно q 1, x больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , x меньше 3, левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка меньше 0, x в квадрате минус x минус 2 не равно q 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x не равно q 1, дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше 3, x не равно q 2 конец системы . равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше 1, 1 меньше x меньше 2, 2 меньше x меньше 3. конец совокупности .$ $система выражений x больше 0, x не равно q 1, 2x минус 1 больше 0, 3 минус x больше 0, минус 2x в квадрате плюс 7x минус 3 больше 0, 3 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус x правая круглая скобка не равно q 9 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x больше 0, x не равно q 1, x больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , x меньше 3, левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка меньше 0, x в квадрате минус x минус 2 не равно q 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x не равно q 1, дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше 3, x не равно q 2 конец системы . равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше 1, 1 меньше x меньше 2, 2 меньше x меньше 3. конец совокупности .$ $система выражений x больше 0, x не равно q 1, 2x минус 1 больше 0, 3 минус x больше 0, минус 2x в квадрате плюс 7x минус 3 больше 0, 3 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус x правая круглая скобка не равно q 9 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x больше 0, x не равно q 1, x больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , x меньше 3, левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка меньше 0, x в квадрате минус x минус 2 не равно q 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x не равно q 1, дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше 3, x не равно q 2 конец системы . равносильно$
$равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше 1, 1 меньше x меньше 2, 2 меньше x меньше 3. конец совокупности .$

Преобразуем неравенство при этих ограничениях:

$дробь: числитель: логарифм по основанию x левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию x левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка плюс 1 минус логарифм по основанию x левая круглая скобка минус 2x в квадрате плюс 7x минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: 3 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус x правая круглая скобка минус 9 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию x левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию x левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка плюс 1 минус логарифм по основанию x левая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: 3 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус x правая круглая скобка минус 9 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию x левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию x левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка плюс 1 минус логарифм по основанию x левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию x левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка , знаменатель: 3 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус x правая круглая скобка минус 9 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию x левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию x левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка логарифм по основанию x левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 3 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус x правая круглая скобка минус 9 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию x левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию x левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 3 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус x правая круглая скобка минус 9 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию x левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию x x правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию x левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию x x правая круглая скобка , знаменатель: 3 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус x правая круглая скобка минус 3 в квадрате конец дроби меньше или равно 0.$

Применим метод рационализации: на ОДЗ знак выражения $логарифм по основанию x y минус логарифм по основанию x z$ совпадает со знаком выражения $левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка y минус z правая круглая скобка ,$ а знак выражения вида $a в степени x минус a в степени y$ совпадает со знаком выражения $левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка .$ Получим:

$система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус 1 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 минус x минус x правая круглая скобка , знаменатель: 2 левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0, совокупность выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше 1, 1 меньше x меньше 2, 2 меньше x меньше 3 конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в кубе левая круглая скобка 3 минус 2x правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0, совокупность выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше 1, 1 меньше x меньше 2, 2 меньше x меньше 3 конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в кубе левая круглая скобка 3 минус 2x правая круглая скобка , знаменатель: x минус 2 конец дроби меньше или равно 0, совокупность выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше 1, 1 меньше x меньше 2, 2 меньше x меньше 3 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений 1 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , 2 меньше x меньше 3. конец совокупности .$ $система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус 1 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 минус x минус x правая круглая скобка , знаменатель: 2 левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0, совокупность выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше 1, 1 меньше x меньше 2, 2 меньше x меньше 3 конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в кубе левая круглая скобка 3 минус 2x правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0, совокупность выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше 1, 1 меньше x меньше 2, 2 меньше x меньше 3 конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в кубе левая круглая скобка 3 минус 2x правая круглая скобка , знаменатель: x минус 2 конец дроби меньше или равно 0, совокупность выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше 1, 1 меньше x меньше 2, 2 меньше x меньше 3 конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 1 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , 2 меньше x меньше 3. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка 1; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 2; 3 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

697992

$левая круглая скобка 1; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 2; 3 правая круглая скобка .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	697992	$левая круглая скобка 1; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 2; 3 правая круглая скобка .$