РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 697990 Добавить в вариант

Уравнения. Тригонометрические уравнения, сводимые к однородным

а)  Решите уравнение $8 левая круглая скобка синус в степени 6 x плюс косинус в степени 6 x правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус 4x плюс 5.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Покажем, что $синус в степени 6 x плюс косинус в степени 6 x = дробь: числитель: 3 косинус 4x плюс 5, знаменатель: 8 конец дроби .$ Используем формулу суммы кубов:

$синус в степени 6 x плюс косинус в степени 6 x = левая круглая скобка синус в квадрате x правая круглая скобка в кубе плюс левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка в кубе =$
$= левая круглая скобка синус в квадрате x плюс косинус в квадрате x правая круглая скобка левая круглая скобка синус в степени 4 x минус синус в квадрате x косинус в квадрате x плюс косинус в степени 4 x правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка синус в квадрате x плюс косинус в квадрате x правая круглая скобка в квадрате минус 3 синус в квадрате x косинус в квадрате x = 1 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби синус в квадрате 2x =$
$= 1 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1 минус косинус 4x, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 3 косинус 4x плюс 5, знаменатель: 8 конец дроби .$ $синус в степени 6 x плюс косинус в степени 6 x = левая круглая скобка синус в квадрате x правая круглая скобка в кубе плюс левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка в кубе =$
$= левая круглая скобка синус в квадрате x плюс косинус в квадрате x правая круглая скобка левая круглая скобка синус в степени 4 x минус синус в квадрате x косинус в квадрате x плюс косинус в степени 4 x правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка синус в квадрате x плюс косинус в квадрате x правая круглая скобка в квадрате минус 3 синус в квадрате x косинус в квадрате x =$
$= 1 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби синус в квадрате 2x =$
$= 1 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1 минус косинус 4x, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 3 косинус 4x плюс 5, знаменатель: 8 конец дроби .$ $синус в степени 6 x плюс косинус в степени 6 x =$
$= левая круглая скобка синус в квадрате x правая круглая скобка в кубе плюс левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка в кубе =$
$= левая круглая скобка синус в квадрате x плюс косинус в квадрате x правая круглая скобка левая круглая скобка синус в степени 4 x минус синус в квадрате x косинус в квадрате x плюс косинус в степени 4 x правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка синус в квадрате x плюс косинус в квадрате x правая круглая скобка в квадрате минус 3 синус в квадрате x косинус в квадрате x =$
$= 1 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби синус в квадрате 2x =$
$= 1 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1 минус косинус 4x, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 3 косинус 4x плюс 5, знаменатель: 8 конец дроби .$ $синус в степени 6 x плюс косинус в степени 6 x =$
$= левая круглая скобка синус в квадрате x правая круглая скобка в кубе плюс левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка в кубе =$
$= левая круглая скобка синус в квадрате x плюс косинус в квадрате x правая круглая скобка левая круглая скобка синус в степени 4 x минус синус в квадрате x косинус в квадрате x плюс косинус в степени 4 x правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка синус в квадрате x плюс косинус в квадрате x правая круглая скобка в квадрате минус 3 синус в квадрате x косинус в квадрате x =$
$= 1 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби синус в квадрате 2x =$
$= 1 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1 минус косинус 4x, знаменатель: 2 конец дроби =$
$= дробь: числитель: 3 косинус 4x плюс 5, знаменатель: 8 конец дроби .$

Подставим найденное выражение в левую часть уравнения, получим:

$3 косинус 4x плюс 5 = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус 4x плюс 5 равносильно корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус 4x = синус 4x равносильно$
$равносильно тангенс 4x = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента равносильно 4x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k равносильно x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 4 конец дроби , k принадлежит Z .$ $3 косинус 4x плюс 5 = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус 4x плюс 5 равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус 4x = синус 4x равносильно тангенс 4x = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента равносильно$
$равносильно 4x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k равносильно x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 4 конец дроби , k принадлежит Z .$ $3 косинус 4x плюс 5 = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус 4x плюс 5 равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус 4x = синус 4x равносильно$
$равносильно тангенс 4x = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента равносильно 4x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k равносильно$
$равносильно x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 4 конец дроби , k принадлежит Z .$ $3 косинус 4x плюс 5 = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус 4x плюс 5 равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус 4x = синус 4x равносильно$
$равносильно тангенс 4x = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента равносильно$
$равносильно 4x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k равносильно$
$равносильно x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 4 конец дроби , k принадлежит Z .$

б)  Отберем корни при помощи двойного неравенства:

$дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: k, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби равносильно 8 меньше или равно 1 плюс 3k меньше или равно 18 равносильно$
$равносильно 7 меньше или равно 3k меньше или равно 17 равносильно дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно k меньше или равно дробь: числитель: 17, знаменатель: 3 конец дроби \underset k принадлежит Z \mathop равносильно совокупность выражений k = 3, k = 4, k = 5. конец совокупности .$ $дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: k, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно 8 меньше или равно 1 плюс 3k меньше или равно 18 равносильно 7 меньше или равно 3k меньше или равно 17 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно k меньше или равно дробь: числитель: 17, знаменатель: 3 конец дроби \underset k принадлежит Z \mathop равносильно совокупность выражений k = 3, k = 4, k = 5. конец совокупности .$ $дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: k, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно 8 меньше или равно 1 плюс 3k меньше или равно 18 равносильно$
$равносильно 7 меньше или равно 3k меньше или равно 17 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно k меньше или равно дробь: числитель: 17, знаменатель: 3 конец дроби \underset k принадлежит Z \mathop равносильно совокупность выражений k = 3, k = 4, k = 5. конец совокупности .$

Найденным значениям параметра соответствуют корни $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 12 конец дроби$ и $дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: а)  $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 4 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

697990

а)  $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 4 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	697990	а)  $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 4 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$