РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 697932 Добавить в вариант

Неравенства. Неравенства рациональные относительно логарифмической функции

Решите неравенство $дробь: числитель: логарифм по основанию 5 8, знаменатель: логарифм по основанию 5 дробь: числитель: x, знаменатель: 16 конец дроби конец дроби меньше или равно левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 минус логарифм по основанию 2 x конец дроби правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: логарифм по основанию 3 4, знаменатель: логарифм по основанию 3 дробь: числитель: x, знаменатель: 8 конец дроби конец дроби .$

Решение. Неравенство определено, если $x больше 0,$ $x не равно q 8$ и $x не равно q 16.$ Используя свойства логарифма

$логарифм по основанию a b = дробь: числитель: логарифм по основанию c b, знаменатель: логарифм по основанию c a конец дроби ,$

$логарифм по основанию a b = дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию b a конец дроби ,$

$логарифм по основанию a дробь: числитель: b, знаменатель: c конец дроби = логарифм по основанию a b минус логарифм по основанию a c,$

на ОДЗ получим:

$дробь: числитель: логарифм по основанию 5 8, знаменатель: логарифм по основанию 5 дробь: числитель: x, знаменатель: 16 конец дроби конец дроби меньше или равно левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 минус логарифм по основанию 2 x конец дроби правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: логарифм по основанию 3 4, знаменатель: логарифм по основанию 3 дробь: числитель: x, знаменатель: 8 конец дроби конец дроби равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка \tfracx правая круглая скобка 168 меньше или равно левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 минус логарифм по основанию 2 x конец дроби правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка \tfracx правая круглая скобка 84 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 8 дробь: числитель: x, знаменатель: 16 конец дроби конец дроби меньше или равно левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 минус логарифм по основанию 2 x конец дроби правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 4 дробь: числитель: x, знаменатель: 8 конец дроби конец дроби равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 8 x минус логарифм по основанию 8 16 конец дроби меньше или равно левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 минус логарифм по основанию 2 x конец дроби правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 4 x минус логарифм по основанию 4 8 конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби логарифм по основанию 2 x минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби конец дроби меньше или равно левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 минус логарифм по основанию 2 x конец дроби правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 2 x минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби конец дроби$ $дробь: числитель: логарифм по основанию 5 8, знаменатель: логарифм по основанию 5 дробь: числитель: x, знаменатель: 16 конец дроби конец дроби меньше или равно левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 минус логарифм по основанию 2 x конец дроби правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: логарифм по основанию 3 4, знаменатель: логарифм по основанию 3 дробь: числитель: x, знаменатель: 8 конец дроби конец дроби равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка \tfracx правая круглая скобка 168 меньше или равно левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 минус логарифм по основанию 2 x конец дроби правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка \tfracx правая круглая скобка 84 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 8 дробь: числитель: x, знаменатель: 16 конец дроби конец дроби меньше или равно левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 минус логарифм по основанию 2 x конец дроби правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 4 дробь: числитель: x, знаменатель: 8 конец дроби конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 8 x минус логарифм по основанию 8 16 конец дроби меньше или равно левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 минус логарифм по основанию 2 x конец дроби правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 4 x минус логарифм по основанию 4 8 конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби логарифм по основанию 2 x минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби конец дроби меньше или равно левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 минус логарифм по основанию 2 x конец дроби правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 2 x минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби конец дроби$ $дробь: числитель: логарифм по основанию 5 8, знаменатель: логарифм по основанию 5 дробь: числитель: x, знаменатель: 16 конец дроби конец дроби меньше или равно левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 минус логарифм по основанию 2 x конец дроби правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: логарифм по основанию 3 4, знаменатель: логарифм по основанию 3 дробь: числитель: x, знаменатель: 8 конец дроби конец дроби равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка \tfracx правая круглая скобка 168 меньше или равно левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 минус логарифм по основанию 2 x конец дроби правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка \tfracx правая круглая скобка 84 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 8 дробь: числитель: x, знаменатель: 16 конец дроби конец дроби меньше или равно левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 минус логарифм по основанию 2 x конец дроби правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 4 дробь: числитель: x, знаменатель: 8 конец дроби конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 8 x минус логарифм по основанию 8 16 конец дроби меньше или равно левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 минус логарифм по основанию 2 x конец дроби правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 4 x минус логарифм по основанию 4 8 конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби логарифм по основанию 2 x минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби конец дроби меньше или равно левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 минус логарифм по основанию 2 x конец дроби правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 2 x минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби конец дроби$

Пусть $t = логарифм по основанию 2 x,$ тогда

$дробь: числитель: 3, знаменатель: t минус 4 конец дроби меньше или равно левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 минус t конец дроби правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: t минус 3 конец дроби равносильно дробь: числитель: 2, знаменатель: t минус 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 3, знаменатель: t минус 4 конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2t минус 8 плюс 2 минус 3t плюс 9, знаменатель: левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 3 минус t, знаменатель: левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно система выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: t минус 4 конец дроби меньше или равно 0, t не равно 3 конец системы . равносильно система выражений t меньше 4, t не равно 3. конец системы .$ $дробь: числитель: 3, знаменатель: t минус 4 конец дроби меньше или равно левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 минус t конец дроби правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: t минус 3 конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2, знаменатель: t минус 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 3, знаменатель: t минус 4 конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 2t минус 8 плюс 2 минус 3t плюс 9, знаменатель: левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 3 минус t, знаменатель: левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно система выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: t минус 4 конец дроби меньше или равно 0, t не равно 3 конец системы . равносильно система выражений t меньше 4, t не равно 3. конец системы .$ $дробь: числитель: 3, знаменатель: t минус 4 конец дроби меньше или равно левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 минус t конец дроби правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: t минус 3 конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2, знаменатель: t минус 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 3, знаменатель: t минус 4 конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2t минус 8 плюс 2 минус 3t плюс 9, знаменатель: левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 3 минус t, знаменатель: левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: t минус 4 конец дроби меньше или равно 0, t не равно 3 конец системы . равносильно система выражений t меньше 4, t не равно 3. конец системы .$

Вернемся к исходной переменной, получим:

$система выражений логарифм по основанию 2 x меньше 4, логарифм по основанию 2 x не равно q 3, x больше 0, x не равно q 27, x не равно q 81 конец системы . равносильно система выражений 0 меньше x меньше 16, x не равно q 8 конец системы . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше 8, 8 меньше x меньше 16. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка 0; 8 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 8; 16 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ответ: $левая круглая скобка 0; 8 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 8; 16 правая круглая скобка .$

697932

$левая круглая скобка 0; 8 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 8; 16 правая круглая скобка .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	697932	$левая круглая скобка 0; 8 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 8; 16 правая круглая скобка .$