РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 16 № 697409 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ по математике 16.04.2016. Досрочная волна, резервный день. Вариант А. Ларина (часть 2);

Задания 17 (С5) ЕГЭ 2016;

Задания 16 ЕГЭ–2026.

Финансовая математика. Кредиты

В июле 2016 года планируется взять кредит в размере 4,2 млн руб. Условия возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года.

— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга.

— в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остается равным 4,2 млн руб.

— суммы выплат 2020 и 2021 годов равны.

Найдите r, если в 2021 году долг будет выплачен полностью и общие выплаты составят 6,1 млн руб.

Решение. Пусть банк начисляет r процентов, то есть умножает остаток долга на $x=1 плюс дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби .$ Тогда первые три платежа составляли $4,2x минус 4,2$ миллионов рублей. Пусть далее четвертый и пятый платежи составляли N миллионов рублей. Тогда $N= левая круглая скобка 4,2x минус N правая круглая скобка x,$ откуда $N= дробь: числитель: 4,2x в квадрате , знаменатель: 1 плюс x конец дроби .$ По условию, общие выплаты составят 6,1 млн руб., откуда имеем:

$3 левая круглая скобка 4,2x минус 4,2 правая круглая скобка плюс 2 умножить на дробь: числитель: 4,2x в квадрате , знаменатель: 1 плюс x конец дроби =6,1 равносильно$
$равносильно 3 левая круглая скобка 42x минус 42 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 84x в квадрате , знаменатель: 1 плюс x конец дроби =61 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: 84x в квадрате , знаменатель: 1 плюс x конец дроби =187 минус 126x равносильно 84x в квадрате = левая круглая скобка 1 плюс x правая круглая скобка левая круглая скобка 187 минус 126x правая круглая скобка равносильно$ $равносильно дробь: числитель: 84x в квадрате , знаменатель: 1 плюс x конец дроби =187 минус 126x равносильно$
$равносильно 84x в квадрате = левая круглая скобка 1 плюс x правая круглая скобка левая круглая скобка 187 минус 126x правая круглая скобка равносильно$

$равносильно 210x в квадрате минус 61x минус 187=0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 10x минус 11 правая круглая скобка левая круглая скобка 21x плюс 17 правая круглая скобка =0 \undersetx больше 0 \mathop равносильно x=1,1.$ $равносильно 210x в квадрате минус 61x минус 187=0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 10x минус 11 правая круглая скобка левая круглая скобка 21x плюс 17 правая круглая скобка =0 \undersetx больше 0 \mathop равносильно$
$\mathop равносильно x=1,1.$

Тогда $r=10.$

Ответ: 10.

Приведём другое решение.

График погашения кредита

Дата	Долг до выплаты, $тыс.руб.$	Выплата, $тыс.руб.$	Долг после выплаты, $тыс.руб.$
01.07.2016	4200
01.01.2017	$4200 левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби правая круглая скобка =4200 плюс 42r$
01.02.2017		42r
01.07.2017			4200
01.01.2018	$4200 левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби правая круглая скобка =4200 плюс 42r$
01.02.2018		42r
01.07.2018			4200
01.01.2019	$4200 левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби правая круглая скобка =4200 плюс 42r$
01.02.2019		42r
01.07.2019			4200
01.01.2020	$4200 левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби правая круглая скобка =4200 плюс 42r$
01.02.2020		x
01.07.2020			$4200 левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби правая круглая скобка минус x$
01.01.2021	$4200 левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус x левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби правая круглая скобка$
01.02.2022		x	0

1)   $4200 дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби умножить на 3 плюс 2x=6100.$

2)   $4200 левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус x левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби правая круглая скобка =x,$ откуда

$4200 левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 3050 минус 63r правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби правая круглая скобка =3050 минус 63r равносильно$

$равносильно 21r в квадрате плюс 3590r минус 38000=0 равносильно совокупность выражений r=10,r= дробь: числитель: минус 3800, знаменатель: 21 конец дроби конец совокупности . \undersetr больше 0\mathop равносильно r=10.$ $равносильно 21r в квадрате плюс 3590r минус 38000=0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений r=10,r= дробь: числитель: минус 3800, знаменатель: 21 конец дроби конец совокупности . \undersetr больше 0\mathop равносильно r=10.$

Расчеты будем вести в тыс. руб.

1.  Поскольку в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг клиента будет равен сумме взятого кредита, то в течение первых трех из пяти лет клиент будет выплачивать кредитору лишь процентные начисления за первые три года. Общая сумма выплаченных денежных средств составит $3 умножить на 4200 умножить на 0,01r=126r$ (тыс. руб.) Следовательно, за последние два расчетных года клиент выплатит кредитору $левая круглая скобка 6100 минус 126r правая круглая скобка$ тыс. руб. А это значит, что суммы выплат 2020 года и аналогичная сумма 2021 года составят по $левая круглая скобка 3050 минус 63r правая круглая скобка$ (тыс. руб.) каждая.

2.  По условию задачи к январю 2020 года долг клиента составит 4200 тыс. руб. В январе 2020 г этот долг возрастет до $4200 умножить на левая круглая скобка 1 плюс 0,01r правая круглая скобка =4200 плюс 42r$ (тыс. руб.).

С февраля по июнь клиент выплатит кредитору сумму $левая круглая скобка 3050 минус 63r правая круглая скобка$ тыс. руб. Долг к июлю 2020 г. составит $4200 плюс 42r минус 3050 плюс 63r=1150 плюс 105r$ (тыс. руб.)

3.  К январю 2021 года долг клиента составит $левая круглая скобка 1150 плюс 105r правая круглая скобка$ тыс. руб. В январе 2020 г. этот долг возрастет до

$левая круглая скобка 1150 плюс 105r правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 1 плюс 0,01r правая круглая скобка =$
$=1150 плюс 105r плюс 11,5r плюс 1,05r в квадрате =$
$=1,05r в квадрате плюс 116,5r плюс 1150 левая круглая скобка тыс.руб. правая круглая скобка$

С февраля по июнь клиент выплатит кредитору сумму $левая круглая скобка 3050 минус 63r правая круглая скобка$ тыс. руб. Долг будет погашен полностью. Следовательно,

$1,05r в квадрате плюс 116,5r плюс 1150 минус 3050 плюс 63r=0 равносильно$
$равносильно 105r в квадрате плюс 11650r плюс 115000 минус 305000 плюс 6300r=0 равносильно$

$равносильно 105r в квадрате плюс 17950r минус 190000=0 равносильно$
$равносильно 21r в квадрате плюс 3590r минус 38000=0.$

$r= дробь: числитель: минус 1795\pm корень из: начало аргумента: 3222025 плюс 798000 конец аргумента , знаменатель: 21 конец дроби =$
$= дробь: числитель: минус 1795\pm корень из: начало аргумента: 4020025 конец аргумента , знаменатель: 21 конец дроби = дробь: числитель: минус 1795\pm2005, знаменатель: 21 конец дроби .$ $r= дробь: числитель: минус 1795\pm корень из: начало аргумента: 3222025 плюс 798000 конец аргумента , знаменатель: 21 конец дроби =$
$= дробь: числитель: минус 1795\pm корень из: начало аргумента: 4020025 конец аргумента , знаменатель: 21 конец дроби =$
$= дробь: числитель: минус 1795\pm2005, знаменатель: 21 конец дроби .$ $r=$
$= дробь: числитель: минус 1795\pm корень из: начало аргумента: 3222025 плюс 798000 конец аргумента , знаменатель: 21 конец дроби =$
$= дробь: числитель: минус 1795\pm корень из: начало аргумента: 4020025 конец аргумента , знаменатель: 21 конец дроби =$
$= дробь: числитель: минус 1795\pm2005, знаменатель: 21 конец дроби .$

$r_1= дробь: числитель: минус 1795 плюс 2005, знаменатель: 21 конец дроби = дробь: числитель: 210, знаменатель: 21 конец дроби =10;$

$r_2= дробь: числитель: минус 1795 минус 2005, знаменатель: 21 конец дроби меньше 0.$

Второй корень не подходит по смыслу задачи.

Ответ: 10.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Источники:

ЕГЭ по математике 16.04.2016. Досрочная волна, резервный день. Вариант А. Ларина (часть 2);

Задания 17 (С5) ЕГЭ 2016;

Задания 16 ЕГЭ–2026.

Ключ