PDF-версии: 
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно один корень.
Решение. Преобразуем уравнение:
Рассмотрим функцию 
она возрастающая (сумма двух возрастающих), значит, каждое свое значение она принимает ровно один раз и потому 
Тогда
Заметим, что если число x0 является корнем уравнения 
то и противоположное ему число −x0 также является корнем этого уравнения. Тогда, чтобы у уравнения был единственный корень, необходимо, чтобы этим корнем было число 0. Найдём, при каких значениях параметра a число 0 является корнем уравнения:
Решим уравнение при найденных значениях параметра a.
При 
получаем:
Если 
то равенство выполняется, если 
то левая часть уравнения (⁎) больше 12, а правая не больше 12, значит, уравнение (⁎) имеет единственное решение 
При 
получаем:
Если то равенство выполняется. Заметим, что 
и 
тогда в силу непрерывности функций 
и 
на интервале 
уравнение (⁎⁎) имеет хотя бы один корень. Значит, при исходное уравнение имеет не менее трёх решений.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |