На окружности основания конуса с вершиной S отмечены точки A, B и C так, что отрезок AB — диаметр основания. Угол между образующей конуса и плоскостью его основания равен 45°.
а) Докажите, что 
б) Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости SBC, если радиус основания равен 5, а 
Решение. а) Пусть точка O — центр основания конуса, точка M — середина стороны AC, точка N — середина стороны CB. Из условия следует, что
Пусть 
тогда 
Угол ACB — прямой, потому что опирается на диаметр, откуда по теореме Пифагора находим:
Треугольники ASC и CSB — равнобедренные, их медианы являются также их биссектрисами. Далее находим:
б) Пусть отрезок OH — высота треугольника OSN, его длина является искомым расстоянием. Имеем:
откуда 
то есть 
Следовательно,
По теореме Пифагора из треугольников ONC и SON соответственно получаем:
Длина высоты, проведенной из вершины прямого угла, равна произведению длин катетов, деленному на длину гипотенузы, поэтому из треугольника SON находим:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |