РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 697010 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 532

Классификатор алгебры: Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Рационализация неравенств. Логарифмы

Неравенства. Другие неравенства смешанного типа

Решите неравенство: $левая круглая скобка x в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка минус 9 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка логарифм по основанию 7 дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: 7 конец дроби плюс логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: x плюс 1 конец дроби правая круглая скобка меньше или равно 0.$

Решение. Найдем ОДЗ:

$система выражений x больше 0, дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: 7 конец дроби больше 0, x плюс 1 больше 0, x плюс 1 не равно q 1, дробь: числитель: 7, знаменатель: x плюс 1 конец дроби больше 0 конец системы . равносильно система выражений x больше 0, x плюс 1 больше 0 конец системы . равносильно x больше 0.$

Применим метод рационализации: на ОДЗ знак выражения вида $логарифм по основанию a f левая круглая скобка x правая круглая скобка минус логарифм по основанию a g левая круглая скобка x правая круглая скобка$ совпадает со знаком выражения $левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка f левая круглая скобка x правая круглая скобка минус g левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка .$ Получаем:

$левая круглая скобка x в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка минус 9 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка логарифм по основанию 7 дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: 7 конец дроби плюс логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: x плюс 1 конец дроби правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 9 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка логарифм по основанию 7 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 7 7 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка 7 минус логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 0, x больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка \log в квадрате _3 x минус 2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка логарифм по основанию 7 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 7 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 0, x больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка дробь: числитель: \log в квадрате _7 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 2 логарифм по основанию 7 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс 1, знаменатель: логарифм по основанию 7 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0, x больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x минус логарифм по основанию 3 3 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x минус логарифм по основанию 3 3 в степени левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка правая круглая скобка дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 7 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 7 7 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: логарифм по основанию 7 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 7 1 конец дроби меньше или равно 0, x больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 3 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 в степени левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка правая круглая скобка дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 1 минус 7 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 1 минус 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0, x больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 3 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 в степени левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 0, x больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений левая круглая скобка x минус 3 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 в степени левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 0, x больше 0, конец системы . x = 6 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 3 в степени левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка меньше или равно x меньше или равно 3 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка , x = 6 конец совокупности .$ $левая круглая скобка x в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка минус 9 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка логарифм по основанию 7 дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: 7 конец дроби плюс логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: x плюс 1 конец дроби правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 9 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка логарифм по основанию 7 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 7 7 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка 7 минус логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 0, x больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка \log в квадрате _3 x минус 2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка логарифм по основанию 7 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 7 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 0, x больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка дробь: числитель: \log в квадрате _7 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 2 логарифм по основанию 7 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс 1, знаменатель: логарифм по основанию 7 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0, x больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x минус логарифм по основанию 3 3 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x минус логарифм по основанию 3 3 в степени левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка правая круглая скобка дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 7 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 7 7 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: логарифм по основанию 7 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 7 1 конец дроби меньше или равно 0, x больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 3 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 в степени левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка правая круглая скобка дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 1 минус 7 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 1 минус 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0, x больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 3 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 в степени левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 0, x больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений левая круглая скобка x минус 3 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 в степени левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 0, x больше 0, конец системы . x = 6 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 3 в степени левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка меньше или равно x меньше или равно 3 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка , x = 6 конец совокупности .$

Сравним числа  $3 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка$  и 6:

$3 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка меньше 3 в степени левая круглая скобка 1,5 правая круглая скобка = 3 в степени левая круглая скобка 0,5 плюс 1 правая круглая скобка =$
$= 3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс логарифм по основанию 3 3 правая круглая скобка меньше 3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 2 плюс логарифм по основанию 3 3 правая круглая скобка = 3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 6 правая круглая скобка = 6.$ $3 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка меньше 3 в степени левая круглая скобка 1,5 правая круглая скобка = 3 в степени левая круглая скобка 0,5 плюс 1 правая круглая скобка =$
$= 3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс логарифм по основанию 3 3 правая круглая скобка меньше 3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 2 плюс логарифм по основанию 3 3 правая круглая скобка =$
$= 3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 6 правая круглая скобка = 6.$

Таким образом, $x принадлежит левая квадратная скобка 3 в степени левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка ; 3 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка 6 правая фигурная скобка .$

Ответ: $левая квадратная скобка 3 в степени левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка ; 3 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка 6 правая фигурная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

697010

$левая квадратная скобка 3 в степени левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка ; 3 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка 6 правая фигурная скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 532

Классификатор алгебры: Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Рационализация неравенств. Логарифмы

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	697010	$левая квадратная скобка 3 в степени левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка ; 3 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка 6 правая фигурная скобка .$