РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 696677 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 531

Классификатор алгебры: Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Рационализация неравенств. Логарифмы, Разложение на множители

Неравенства. Логарифмы и иррациональности

Решите неравенство $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 10 минус x конец аргумента умножить на логарифм по основанию 2 x минус 3 логарифм по основанию 2 x минус 2 корень из: начало аргумента: 10 минус x конец аргумента плюс 6, знаменатель: логарифм по основанию 2 в квадрате x минус 5 логарифм по основанию 2 x плюс 4 конец дроби больше или равно 0.$

Решение. Неравенство определено при $0 меньше x меньше или равно 10.$ Последовательно получаем:

$система выражений дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 10 минус x конец аргумента умножить на логарифм по основанию 2 x минус 3 логарифм по основанию 2 x минус 2 корень из: начало аргумента: 10 минус x конец аргумента плюс 6, знаменатель: логарифм по основанию 2 в квадрате x минус 5 логарифм по основанию 2 x плюс 4 конец дроби больше или равно 0, 0 меньше x меньше или равно 10 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: логарифм по основанию 2 x умножить на левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 10 минус x конец аргумента минус 3 правая круглая скобка минус 2 умножить на левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 10 минус x конец аргумента минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x минус 4 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0, 0 меньше x меньше или равно 10 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 10 минус x конец аргумента минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 x минус 1 конец дроби меньше или равно 0, 0 меньше x меньше или равно 10. конец системы .$ $система выражений дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 10 минус x конец аргумента умножить на логарифм по основанию 2 x минус 3 логарифм по основанию 2 x минус 2 корень из: начало аргумента: 10 минус x конец аргумента плюс 6, знаменатель: логарифм по основанию 2 в квадрате x минус 5 логарифм по основанию 2 x плюс 4 конец дроби больше или равно 0, 0 меньше x меньше или равно 10 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: логарифм по основанию 2 x умножить на левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 10 минус x конец аргумента минус 3 правая круглая скобка минус 2 умножить на левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 10 минус x конец аргумента минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x минус 4 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0, 0 меньше x меньше или равно 10 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 10 минус x конец аргумента минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 x минус 1 конец дроби меньше или равно 0, 0 меньше x меньше или равно 10. конец системы .$

Применим метод рационализации: на ОДЗ знак выражения вида $корень из: начало аргумента: f левая круглая скобка x правая круглая скобка конец аргумента минус корень из: начало аргумента: g левая круглая скобка x правая круглая скобка конец аргумента$ совпадает со знаком выражения $f левая круглая скобка x правая круглая скобка минус g левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ а знак выражения вида $логарифм по основанию a f левая круглая скобка x правая круглая скобка минус логарифм по основанию a g левая круглая скобка x правая круглая скобка$ совпадает со знаком выражения $левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка f левая круглая скобка x правая круглая скобка минус g левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка .$ Получаем:

$система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 10 минус x конец аргумента минус корень из: начало аргумента: 9 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x минус логарифм по основанию 2 4 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 x минус логарифм по основанию 2 2 конец дроби меньше или равно 0, 0 меньше x меньше или равно 10 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка 10 минус x минус 9 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 2 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0, 0 меньше x меньше или равно 10 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 2 конец дроби больше или равно 0, 0 меньше x меньше или равно 10 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений 1 меньше или равно x меньше 2, x больше или равно 4, конец системы . 0 меньше x меньше или равно 10 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 1 меньше или равно x меньше 2, 4 меньше или равно x меньше или равно 10. конец совокупности .$ $система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 10 минус x конец аргумента минус корень из: начало аргумента: 9 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x минус логарифм по основанию 2 4 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 x минус логарифм по основанию 2 2 конец дроби меньше или равно 0, 0 меньше x меньше или равно 10 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка 10 минус x минус 9 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 2 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0, 0 меньше x меньше или равно 10 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 2 конец дроби больше или равно 0, 0 меньше x меньше или равно 10 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений 1 меньше или равно x меньше 2, x больше или равно 4, конец системы . 0 меньше x меньше или равно 10 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 1 меньше или равно x меньше 2, 4 меньше или равно x меньше или равно 10. конец совокупности .$ $система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 10 минус x конец аргумента минус корень из: начало аргумента: 9 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x минус логарифм по основанию 2 4 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 x минус логарифм по основанию 2 2 конец дроби меньше или равно 0, 0 меньше x меньше или равно 10 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка 10 минус x минус 9 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 2 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0, 0 меньше x меньше или равно 10 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 2 конец дроби больше или равно 0, 0 меньше x меньше или равно 10 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений 1 меньше или равно x меньше 2, x больше или равно 4, конец системы . 0 меньше x меньше или равно 10 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 1 меньше или равно x меньше 2, 4 меньше или равно x меньше или равно 10. конец совокупности .$

Ответ: $левая квадратная скобка 1; 2 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 4; 10 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

696677

$левая квадратная скобка 1; 2 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 4; 10 правая квадратная скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 531

Классификатор алгебры: Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Рационализация неравенств. Логарифмы, Разложение на множители

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	696677	$левая квадратная скобка 1; 2 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 4; 10 правая квадратная скобка .$