Ре­ше­ние. а)  Пусть тре­уголь­ник ABC  — ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды, от­ре­зок DH  — его вы­со­та. Тогда пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки DAH, DBH и DCH равны по ка­те­ту и остро­му углу, то есть и точка H  — центр опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC. Точка O рав­но­уда­ле­на от точек A, B и C, по­это­му она лежит на пря­мой OH.

Пусть тогда По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка AOH по­лу­ча­ем:

Зна­че­ние вы­ра­же­ния

по­ло­жи­тель­но, по­это­му точка O лежит между точ­кой D и плос­ко­стью ABC.

б)  По тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ABC по­лу­ча­ем:

где R_ABC  — ра­ди­ус опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC окруж­но­сти. Из до­ка­зан­но­го в пунк­те а) из­вест­но, что и

Ответ: б)  8.