Ре­ше­ние. а)  Да, на­при­мер, для по­сле­до­ва­тель­но­сти 1, 2, 3, 4, 75, 16, 17, 18, 5, 6, 7, 8, 59.

б)  По усло­вию сумма пер­вых вось­ми чисел долж­на рав­нять­ся как и сумма по­след­них вось­ми. С дру­гой сто­ро­ны, сумма всех чисел долж­на рав­нять­ся по­это­му сумма по­след­них пяти чисел долж­на рав­нять­ся что не­воз­мож­но для пяти раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел.

в)  Пусть сумма трех чисел с но­ме­ра­ми от 6 до 8 равна x, тогда сумма пер­вых пяти и по­след­них пяти равна а общая сумма равна и общее сред­нее ариф­ме­ти­че­ское равно Зна­чит, чем боль­ше x, тем мень­ше общее сред­нее ариф­ме­ти­че­ское и на­о­бо­рот. Оста­лось найти гра­ни­цы для x.

Ясно, что по­это­му сред­нее не боль­ше Это зна­че­ние до­сти­га­ет­ся, на­при­мер, для по­сле­до­ва­тель­но­сти 4, 5, 6, 7, 108, 1, 2, 3, 8, 9, 10, 11, 92.

С дру­гой сто­ро­ны, сумма всех чисел, кроме сред­них от­ку­да то есть Зна­чит, наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние x равно 108 и общее сред­нее ариф­ме­ти­че­ское равно Это зна­че­ние до­сти­га­ет­ся, на­при­мер, для по­сле­до­ва­тель­но­сти 1, 11, 2, 9, 5, 35, 36, 37, 3, 4, 6, 7, 8.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)