РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 694142 Добавить в вариант

Неравенства. Неравенства рациональные относительно логарифмической функции

Решите неравенство $дробь: числитель: логарифм по основанию 3 в квадрате левая круглая скобка 3 x правая круглая скобка минус 1, знаменатель: логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 9 x правая круглая скобка конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 3 x минус 4 конец дроби меньше или равно 6 .$

Решение. Преобразуем неравенство:

$дробь: числитель: логарифм по основанию 3 в квадрате левая круглая скобка 3 x правая круглая скобка минус 1, знаменатель: логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 9 x правая круглая скобка конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 3 x минус 4 конец дроби меньше или равно 6 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 3 3 плюс логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка в квадрате минус 1, знаменатель: логарифм по основанию 3 9 плюс логарифм по основанию 3 x конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 3 x минус 4 конец дроби меньше или равно 6 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: \log в квадрате _3 x плюс 2 логарифм по основанию 3 x, знаменатель: логарифм по основанию 3 x плюс 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 3 x минус 4 конец дроби меньше или равно 6.$ $дробь: числитель: логарифм по основанию 3 в квадрате левая круглая скобка 3 x правая круглая скобка минус 1, знаменатель: логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 9 x правая круглая скобка конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 3 x минус 4 конец дроби меньше или равно 6 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 3 3 плюс логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка в квадрате минус 1, знаменатель: логарифм по основанию 3 9 плюс логарифм по основанию 3 x конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 3 x минус 4 конец дроби меньше или равно 6 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: \log в квадрате _3 x плюс 2 логарифм по основанию 3 x, знаменатель: логарифм по основанию 3 x плюс 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 3 x минус 4 конец дроби меньше или равно 6.$

Пусть $t = логарифм по основанию 3 x,$ решим рациональное неравенство:

$дробь: числитель: t в квадрате плюс 2t, знаменатель: t плюс 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: t минус 4 конец дроби меньше или равно 6 равносильно дробь: числитель: t левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: t плюс 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: t минус 4 конец дроби меньше или равно 6 равносильно система выражений t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: t минус 4 конец дроби минус 6 меньше или равно 0, t не равно минус 2 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: t в квадрате минус 4t плюс 1 минус 6t плюс 24, знаменатель: t минус 4 конец дроби меньше или равно 0, t не равно минус 2 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: t в квадрате минус 10t плюс 25, знаменатель: t минус 4 конец дроби меньше или равно 0, t не равно минус 2 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 5 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: t минус 4 конец дроби меньше или равно 0, t не равно минус 2 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений t меньше 4, t = 5, конец системы . t не равно q минус 2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений t меньше минус 2, минус 2 меньше t меньше 4 , t = 5. конец совокупности .$ $дробь: числитель: t в квадрате плюс 2t, знаменатель: t плюс 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: t минус 4 конец дроби меньше или равно 6 равносильно дробь: числитель: t левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: t плюс 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: t минус 4 конец дроби меньше или равно 6 равносильно$
$равносильно система выражений t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: t минус 4 конец дроби минус 6 меньше или равно 0, t не равно минус 2 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: t в квадрате минус 4t плюс 1 минус 6t плюс 24, знаменатель: t минус 4 конец дроби меньше или равно 0, t не равно минус 2 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: t в квадрате минус 10t плюс 25, знаменатель: t минус 4 конец дроби меньше или равно 0, t не равно минус 2 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 5 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: t минус 4 конец дроби меньше или равно 0, t не равно минус 2 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений t меньше 4, t = 5, конец системы . t не равно q минус 2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений t меньше минус 2, минус 2 меньше t меньше 4 , t = 5. конец совокупности .$ $дробь: числитель: t в квадрате плюс 2t, знаменатель: t плюс 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: t минус 4 конец дроби меньше или равно 6 равносильно дробь: числитель: t левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: t плюс 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: t минус 4 конец дроби меньше или равно 6 равносильно$
$равносильно система выражений t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: t минус 4 конец дроби минус 6 меньше или равно 0, t не равно минус 2 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: t в квадрате минус 4t плюс 1 минус 6t плюс 24, знаменатель: t минус 4 конец дроби меньше или равно 0, t не равно минус 2 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: t в квадрате минус 10t плюс 25, знаменатель: t минус 4 конец дроби меньше или равно 0, t не равно минус 2 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 5 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: t минус 4 конец дроби меньше или равно 0, t не равно минус 2 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений t меньше 4, t = 5, конец системы . t не равно q минус 2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений t меньше минус 2, минус 2 меньше t меньше 4 , t = 5. конец совокупности .$ $дробь: числитель: t в квадрате плюс 2t, знаменатель: t плюс 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: t минус 4 конец дроби меньше или равно 6 равносильно дробь: числитель: t левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: t плюс 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: t минус 4 конец дроби меньше или равно 6 равносильно$
$равносильно система выражений t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: t минус 4 конец дроби минус 6 меньше или равно 0, t не равно минус 2 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: t в квадрате минус 4t плюс 1 минус 6t плюс 24, знаменатель: t минус 4 конец дроби меньше или равно 0, t не равно минус 2 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: t в квадрате минус 10t плюс 25, знаменатель: t минус 4 конец дроби меньше или равно 0, t не равно минус 2 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 5 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: t минус 4 конец дроби меньше или равно 0, t не равно минус 2 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений t меньше 4, t = 5, конец системы . t не равно q минус 2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений t меньше минус 2, минус 2 меньше t меньше 4 , t = 5. конец совокупности .$

Вернемся к исходной переменной, находим:

$совокупность выражений логарифм по основанию 3 x меньше минус 2, минус 2 меньше логарифм по основанию 3 x меньше 4 , логарифм по основанию 3 x = 5. конец совокупности . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби , дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби меньше x меньше 81, x = 243. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби ; 81 правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 243 правая фигурная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

694142

$левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби ; 81 правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 243 правая фигурная скобка .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	694142	$левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби ; 81 правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 243 правая фигурная скобка .$