PDF-версии: 
В правильном тетраэдре АВСD точка K лежит на ребре СВ, причем CK : KB = 1 : 2. Точка L лежит на ребре АВ, причем AL : LB = 1 : 3. Через точки А и K параллельно DL проведена секущая плоскость..
а) Докажите, что сечением является равнобедренный треугольник.
б) Найдите площадь сечения, если ребра тетраэдра равны 1.
Решение. а) Пусть прямые CL и AK пересекаются в точке M. В плоскости CDL через точку M проведем прямую, параллельную прямой DL, пусть она пересекает на ребро DC в точке N. Тогда плоскость ANK параллельна прямой DL и является искомым сечением. По теореме Менелая для прямой AK и треугольника LCB получаем:
По теореме Фалеса для угла DCL и параллельных прямых MN и DL: 
Треугольники ADN и ACK равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, 
то есть треугольник ANK — равнобедренный по определению.
б) По теореме косинусов для треугольника ACK получаем:
Из доказанного в пункте а) имеем: 
По теореме косинусов для треугольника NKC:
Пусть отрезок AH — высота равнобедренного треугольника ANK, тогда он также является и медианой. По теореме Пифагора для треугольника AHK:
Вычислим площадь треугольника ANK:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |