PDF-версии: 
Точка P — середина ребра AD куба ABCDA1B1C1D1.
а) Докажите, что середина ребра DC принадлежит плоскости A1C1P.
б) Найдите расстояние от середины ребра AB до плоскости A1C1P, если длина ребра куба равна 3.
Решение. а) Пусть точка Q — середина ребра DC, тогда отрезок PQ — средняя линия треугольника ADC. Прямые AC и A1C1 параллельны, прямые PQ и AC также параллельны, значит, параллельны и прямые PQ и A1C1. Следовательно,
б) Пусть точка M — середина ребра AB. Введем систему координат так, как показано на рисунке. В этой системе координат:
Уравнение плоскости A1C1P имеет вид 
Подставим координаты
Итак, уравнение плоскости A1C1P имеет вид 
Эта плоскость не параллельна оси ординат и не содержит ее, а потому 
и на B обе части уравнения можно разделить. Имеем: 
По формуле расстояния от точки до плоскости находим:
Ответ: б) 2.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |